专升本辅导-第4讲补充微分中值定理

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1、第4讲(补充)微分中值定理一.费马定理二.罗尔中值定理三.拉格朗日中值定理四.柯西中值定理了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义．会用罗尔中值定理证明方程根的存在性．会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式．函数导数的定义为即函数在点x处的导数等于时,函数的极限值.在点x处的差商导数与差商导数与差商相等！将割线作平行移动,那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线上与割线距离最远的那一点P处成为切线,即在点P处与曲线的切线重合.也就是说,至少存在一点使得该命题就是微分中值定理.极值的定义一.费马定理设函数f(x)在点的某领域内有定在处可导，如果对任意那么义，并且

2、有费马定理的几何解释如何证明？证不妨设时，（如果从而当时，可类似的证明）.于是，对于，有当时根据函数f(x)在可导的条件极限的保号性，便得到所以二.罗尔中值定理设则至少存在一点定理实际上,切线与弦线AB平行.最小值至少各一次.证最小值至少各一次.由费马定理可知：例1证其中,综上所述,连续可微端点函数值相等例2分析例2证由罗尔定理,至少存在一点分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.且满足罗尔定理其它条件,例3证想想,看能不能找到证明的方法.例4分析例4证则由已知条件可知:该矛盾说明命题为真.如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要,当然可以使用.例5

3、证例6证三.拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理切线与弦线AB平行如何利用罗尔定理来证明？则由已知条件可得：故由罗尔定理,至少存在一点证拉格朗日有限增量公式某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在t=a到t=b的时间段内,连续运动的物体至少会在还有什么？推论1推论2(C为常数)推论3用来证明一些重要的不等式推论4用来判断函数的单调性在推论4中,推论5则再由推论4,即得命题成立.该推论可以用来证明不等式.证解例7故从而例8证例9证例10证延拓!例11证从而例12解例13解又故从而即例14证则又且故即例15证四.柯西中值定理设则至少存在一点有人：分子分母分别

4、用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.故由罗尔中值定理至少存在一点使得亦即证分析例16例16证三个中值定理的关系RolleLagrangeCauchy图形旋转