资源描述：
《应用微分中值定理证明不等式.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、。。38中等数学一,.~...................口................-一-一应用微分中值定理证明不等式李昌烈:二:3一,。,本文着重说明应用微分中值定理证明不等式f()工在〔;〕两端点处函数值的差,,时函数f(x)的选取方法介绍一些用初等数学“,一,,=·’一’一=;,““““右方法不易证明的或证明步骤较繁的不等式而用微香奋)一含,小分中值定理可以简捷地解决的情形其中关键是要,边是这两个函数值对应的自变量之差与1之积它.f(、选择好函数)具有不等式(1)的形式,敌可选取函数f(x):“xa,b微分中值定理是若函数f()在闭区间
2、〔〕二、,一,,二x一3‘,a,,。,生它符合中值定理条件并且f,丈幻上连续在开区间(b)内可导则在开区间(b),内至少有一点七使得十,,。,奥所以在(1)有一个点七使f(b)一f(a)f尸(乙)二b一af(a)一f(1)=尹一a一1)f(七)(用微分中值定理证明不等式的主要依据是选定、2·。吸J、矛=3‘+‘’-.加J‘,。1,一符合微分中值定理条件的函数f(x)后若在所讨论一告一牛)(暴)产,的区间内有,因此am<一工(丝M,f(:)可得业奥‘(I)二例
3、分先变形再用观察法选取函数b一a.,:”<二1<‘,一ao,3求证若<贝”因为b>所以析晋一a一a.·m(b一a)丛,tgxlxl我们就是要用(I)或(万)来证明不等式下面仅就f(幻。欲证>因为”<一<一<函数的选取方法举例说明之》奇、f瓮一直接用观察方法选取函数(x),,,tg“.,一>1。xtgx,不等式两边同乘以例当生旦勺只需证竺多兰三一色望丝>0即可x一y得盆i,证容易看出需证的不等式的左端是函数:f(x)二证可以看出不等式的左边是函数,xar
4、ctgx在闭区间〔y〕两端点处函数值之差与,x:,,。燮在〔xl〕两端点处函数值的差右边可相应的自变量之差的比右端则是一常数这一不蕊。等式具有(1)式的形式因此可考虑选取函看作是与两函数值相对应的自变量之差与常数零之x二aret,,x,,数f()gX它在〔y〕满足中值定理的条积则该不等式具有(I)式的形式故可选取函数.,,f,(x)=万‘、)内存在·=,,:!,二2件并且所以在(y“,它满足中值定理条件并且在‘.,/l共+2X~~等,一点专使得又一e0SXSIDX内f产(x)=,x,,x:,x·eosx2所以在()中有点是使arctgx一arotgy”f
5、产-()(七)示一达一x一1+之2一三=y生旦丛笙鱼三处些丝些些参·(x:一xl),x:盆,。eo32(七七)因为<‘,~竺二1,所以夕竺熨泣卫些堕卫兮-厄下了<从1,一廿r刁1。_,,一__,皿,‘_‘、。、。,~x一1+‘J卜卜卜U、、孟!《、g《、界2又、二二,气‘.Cos弓夕‘尹户U,了屯击艺arctx一rcx:一x:,5n,eos,gatgy>0o七,七叁二华组真>。所以.必eos.。1,a,一。一L互互)例2当>时求证工>1_,.因此堕丛>0即生丛>望连1‘证,攀轰2xix2xl可以看出需证的
6、不等式的左边是函数土983年第二期‘.、、.,,、一。,,,2a吕、Z.目~’b’竺>例4白””a则鱿水断久又久不泛下/乎2.,,通过以上例题可以看出若想用微分中值定理欲证>只需证一0。分析共>即可,笋攀爹Z.证明某些不等式待证的不等式应具有(I)式或_、,,_,」,、,‘。一~。*。b)~a)~~,一一~一““易知不等式左边是函数f(x)=头在闭区间(,I)-式-,的···形,r式-、,即,,不’等式的‘一边’具一’有‘’竺亡竺二二竺兰的-”一b一a‘一,a,,〔b〕两端点处函数值的差右端可看成是与两,另一边为一常数形式或者不等式的一边具有,一。,b一
7、。函数值相对应的自变量之差与零之积它具有不等f(的f()的形式而另二边具有P()的形,,。、xX么P为b为函数f(x)的自变量,式其中常数所式(I)的形式因此可选取函数f(x)=,它适不。在ab当然有些不等闭区间〔〕的两个端点的值,,Zx一x乞In么式可能并不直接具有上述形式但通过变形往往,’:f()合中值定理条件并且一,所以。2可转化为上述两种形式,,,:在(ba)内存在点七使下列几题读者可自行练习aZb,2一ZlnZ(b),a一b七乙一、0ba,na一n.,)1若<<证明IIb<22七b‘,a一。<若<因为2七>o2.“x2,“inxxt:.其中b>
8、0当<<面证明<
