微分中值定理和不等式的证明

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1、淮北师范大学2013届学士学位论文微分中值定理和不等式的证明学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向函数论学生姓名谢晨西学号20091101169指导教师姓名卓泽朋指导教师职称副教授2013年4月20日微分中值定理及不等式的证明谢晨西（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要微分中值定理在数学分析中具有重要作用,不等式在初等数学中是最基本的内容之一,微分中值定理主要包括：拉格朗日中值定理，罗尔中值定理,以及柯西中值定理.本文采用举例的方式归纳了微分中值定理在不等式证明中的几种常见方法和技巧，并对中值定理进行了适当的推广,同时

2、结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理,拉格朗日中值定理在证明不等式面的应用,从而加深对两个定理的理解,总结了微分中值定理在不等式证明中的基本思想和方法.关键词：微分中值定理，柯西中值定理，费马定理，不等式DifferentialMeanValueTheoremandProofofInequalityXieChenxi（SchoolofMathematicalscience,HuaibeiNormalUniversity,Huaibei,2350000）AbstractDifferentialmeanvaluetheoremplaysani

3、mportantroleinmathematicalanalysis.Inequalityisoneofthemostimportantelementsinelementarymathematics.Differentialmeanvaluetheoreminclude:lagrangemeanvaluetheorem,rolletheorem,cauchymeanvaluetheorem.Thisarticlesummarizesseveralcommonmethodsandtechniquesofdifferentialmeanval

4、uetheoremtoproveinequality..Appropriatepromotiondifferentialmeanvaluetheorem.Combinedwithafewcommonexamplesdiscussedrolletheoremoflagrangemeanvaluetheoreminprovinginequalitiessurface.Soastodeepentheunderstandingofthetwotheorems,summarizethebasicmethodofdifferentialmeanval

5、uetheoremtoproveinequalityKeywords:Differentialmeanvaluetheorem，CauchyMeanValueTheorem，generalizedFermat'stheorem;，inequalities目录引言11预备知识12微分中值定理及其证明12.1费马引理12.2罗尔中值定理及其推广22.3拉格朗日中值定理及其推广32.4柯西中值定理及其推广32.5泰勒中值定理43利用微分中值定理证明不等式43.1罗尔中值定理证明不等式43.2利用拉格朗日中值定理证明不等式53.3利用柯西中值定理

6、证明不等式63.4利用泰勒中值定理证明不等式73.5综合利用微分中值定理证明不等式9结论10参考文献11引言在高等数学课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等统称为微分中值定理,他们是微分中值学中最基本、最重要的定理为加深学生对微分中值定理的理解.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究

7、中也发挥着十分重要的作用.因此，微分中值定理已经成为整个微分学基础而又举足轻重的内容.1预备知识微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具,其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。也就是说微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.定义1(单调性)函数在定义域内,当时,有则称单调递增.当时,有,则称单调递减.定义2(保号性)若,则存在任意使得.定义3(最值)设在上有定义,若存在使任意,(),则称为

8、的最小值(最大值).为最小值点(最大值点).定义4(极值)设在任意上有定义,若存在任意,都有(),则称为的一个极小值(极大值),称为极小值点(极大值点).2微分中值定理及其证明2.1费马引理1