利用微分中值定理证明不等式.doc

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1、微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种：1、费马定理：设函数在点的某邻域内有定义,且在点可导,若点为的极值点,则必有.2、罗尔中值定理：若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）,则在开区间内至少存在一点,使得.3、拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则在开区间内至少存在一点,使得.4、柯西中值定理：若函数,满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）,不同时为零；（4）；则在开区间内存在一点,使得.

2、微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决.例1、设⑴在上连续；⑵在内存在；⑶⑷在内存在点,使得求证在内存在,使.证明由题设知存在,使在处取得最大值,且由⑷知,也是极大值点,所以.由泰勒公式：.所以.例2、设,证明.证明显然等式当且仅当时成立.下证当时,有①作辅助函数,则在上满足拉格朗日中值定理,则使②由于,所以③由②③有,即.总结：一般证明方法有两种①利用泰勒定理把函数在特殊点展开,结论即可得证.②利用拉格朗日中值定理

3、证明不等式,其步骤为：第一步根据待证不等式构造一个合适的函数,使不等式的一边是这个函数在区间上的增量；第二步验证在上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为；第三步把适当放大或缩小即可。