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1、利用中值定理证明不等式拉格朗日中值定理的证明过程是基于罗尔定理上的,并将拉格朗日中值定理作为罗尔定理的推广,找出辅助函数满足罗尔定理条件得证的:定理3.2[8]罗尔定理:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且在区间端点的函数值相等,即那么在内至少存在一点使得函数在该点的导数值等于零.即.(3.1)证明由于在闭区间上连续,所以在上一定取到最小值与最大值,分别设为与.(1)当,则在是常值函数,即.因此,可取内任意一点,有.(2)当时,由于,所以最大值、最小值至少有一个在内部取到，不妨设最大值在内部取到.设,则为极大值.由在内可导,知存在.由费马定理
2、知,定理3.3[8]拉格朗日中值定理:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少存在一点使等式(3.2)成立.证明构造一个函数,设,由于,且.所以由罗尔定理知至少存在一点,使.又,所以,于是例3.2[4]证明分析:因为当时,将不等式改写成当时,将不等式改写成证明令当时,对在上应用拉格朗日中值定理.因为,所以,即 当时,对在上应用拉格朗日中值定理,．因为，所以.即 .故当时，.例3.3证明不等式:当时,分析:所证不等式中的函数的导数为,即所证不等式中含有函数及其导数,因而可用拉格朗日中值定理试之.由于,因此可构造函数的改变量,则相应自变量
3、的改变量为,原不等式等价于:由不等式中间部分的形式可知,可利用拉格朗日中值定理证明.证明原不等式可等价变形为：.令,显然它在上满足拉格朗日中值中定理的条件,故存在,使得,即又,所以.所以.因此,当时,.
