拉格朗日中值定理证明 拉格朗日中值定理的证明方法

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2、Ｎｏ．５，辅导篇拉格朗日中值定理的证明方法张喆，张建林，姜永艳（）中原工学院理学院，河南郑州４５０００７摘要　分类总结拉格朗日中值定理的各种证明方法，并加以分析讨论，以求深化对微分中值定理的理解．文献标识码　Ａ（）文章编号　１００８１３９９２０１１０５００５７０４－－－关键词　微分中值定理；证明；辅助函数中图分类号　Ｏ１７２．１微分中值定理，作为微分学中的重要定理，是微分学应用的理论基础，是微分学的核心理论．微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理．它们是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体

3、性质的工具．其中拉格朗日中值定理是核心，从这些定理的条件和结论可以看出罗尔定理是其特殊情况，柯西定理和泰勒定理是其推广．本文着重讨论的就是拉格朗日微分中值定理的证明．人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间．从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段．人们正是在这一发展过程中，逐渐认识到微分中值定理的普遍性．目前，对微分中值定理的证明方法，除了数学分析或高等数学课本上的之外，还有很多值得学习借鉴的方法．基于微分中值定理的重要意同时为了使老师、学生都能更加全面、深入地理义，解微分中值定理，掌握其证

4、明技巧，本文对几种典型］进行了分类总结．的证明方法［１－３行化归来实现．下面就是从分析的角度构造出辅助函数的若干方法．）１　原函数构造法为了利用罗尔定理来推证，以从后向前推的思路，构造一个函数使它满足罗尔定理的第三个条件，同时又能从罗尔定理结论中推导出来拉格朗日中值定理的结论．要从罗尔定理的结论Ｆ′（ξ）＝０中推出拉格朗日定理的结论））（（，′（ｆξ）＝ｂ－ａ显然只需要））（（′（′（．－＝Ｆｆξ）ξ）ｂ－ａ由于一次函数的导数是常数，可以猜想出（或通过两边积分）得到辅助函数应设为））（（Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｃ，－ｂ－ａ其中ｃ为常数．由验证

5、可知，它满足罗尔定理三个条件，为计算方便起见，可取ｃ＝０．［４］７８）２　参数变易法目的仍然是构造一个函数Ｆ（ｘ）且满足１　利用构造辅助函数方法证明微分中值定理的证明方法很多，一般来说都是通过构造辅助函数来完成的，但是如何辅助函数却是一个难点问题．下面针对构造辅助函数的方法分别从几何和分析角度加以分析．１．１　分析法由于柯西、拉格朗日中值定理和罗尔中值定理所以证明拉格朗日之间存在着一般与特殊的关系，和柯西中值定理的方法可以利用向罗尔中值定理进；收稿日期：修改日期：２０１００８１２２０１１０８０２．－－－－，作者简介：张喆（女，河南郑州人，

6、硕士，讲师，主要从事组合１９７９－）：最优化研究．Ｅｍａｉｌｚｚｘ２０１０＠１２６．ｃｏｍ；ｑ，张建林（男，河南洛阳人，硕士，讲师，主要从事微１９７７－）：分方程研究．Ｅｍａｉｌｄｅｆａ２００１＠１６３．ｃｏｍ．Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）．这时若令，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｘ－Ｂ）－Ａ－ｋ（其中Ａ和Ｂ是任意实数，那么，Ｆ（ａ）＝ｆ（ａ）ａ－Ｂ）－Ａ－ｋ（，Ｆ（ｂ）＝ｆ（ｂ）ｂ－Ｂ）－Ａ－ｋ（要使以上两式相等，只需ａ）ａ＝ｆ（ｂ）ｂ，－ｋ－ｋｆ（故仍然可设参数（））（，ｋ＝ｂ－ａ由此所得Ｆ（ｘ）即可满足要求．５８）３　行列式法由于要求，Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）

7、故可根据行列式的性质，设高等数学研究２０１１年９月或者）（）（）（）（）（）］Ｆ（ｘｘｘ－ｂｂ．＝ｆ－＋ｆｂ－ａ如此所得辅助函数均满足ａｆ（ａ）１Ｆ（ｘ）＝ｂｂ）１，　ｆ（ｘ　ｆ（ｘ）１如此所得辅助函数满足Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０．其实，曲线Ｌ与任何一条平行于弦ＡＢ的直线为简单在ｘ＝ａ和ｘ＝ｂ两处的高度差皆对应相等，起见，不妨取平行于弦ＡＢ且过原点的直线为参考，构造辅助函数Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０．）４　利用弦倾角法目的同前．设连接连续曲线（）Ｌ：｛ｘ，ｘ）ａ≤ｘ≤ｂ｝｜ｆ（），两端点Ａ和Ｂ的弦为Ａ图１其倾倾斜角为θ，则Ｂ（－）），（（Ｆ（ｘ

8、）＝ｆ（ｘ）－ｂ－ａ如此所得辅助函数也满足要求．）２　利用面积构造辅助函数）不难发现，曲线Ｌ上任意一点Ｐ（与弦ｘ，ｘ）ｆ（＜θ＜，２２ＡＢ组成的△ＡＢＰ的面积Ｓ（ｘ）恰好在区间［ａ，ｂ］上满足