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《柯西与拉格朗日中值定理的多种证明方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、------------------------------------------------------------------------------------------------柯西与拉格朗日中值定理的多种证明方法微分中值定理的进一步探讨□孙莹摘要：微分中指定理中的Cauchy中值定理与Lagrange中值定理是数学分析学习内容的重中之重，其具有较强的理论性,其揭示函数与其导数之间的关系,在知识结构和思想体系中建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。我们在处理数学证明题中会经常用到这两个定理，但是课本中给出的证明方法单一而且独特，较难
2、掌握，为弥补此不足之处，本课题将帮助大家多角度地了解微分中值定理的证明方法，以便更深刻地理解Cauchy中值定理与Lagrange中值定理，学会用多种方法处理同一问题的思想。关键词：Cauchy中值定理；Lagrange中值定理；常数k法；行列式法；坐标旋转法文章一开始先给出Roller中值定理，因为Cauchy中值定理和Lagrange中值定理的多种证明过程都会用到Roller中值定理的结论。然后给出北师大版的数学分析上册书中的Cauchy中值定理和Lagrange中值定理及其证明过程，目的在于让读者发现其与其它证明方法的联系。定理1（Rolle
3、r中值定理）若f(x)满足如下条件：(i)在[a,b]上都连续；——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------(ii)在(a,b)上都可导；(iii)f(a)?f(b)，'f则在(a,b)内至少存在一点?，使得(?)?0。定理2（Cauchy中值定理）[1]f(x)，g(x)满足以下几个条件：(i)在[a,b]上都连续；(
4、ii)在(a,b)上都可导(iii)f(x)和g(x)不同时为零(iv)g(a)?g(b)则存在??(a,b),使得''f'(?)f(b)?f(a)?'。g(?)g(b)?f(a)-1-证明：作辅助函数F(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)?g(x)?g(a)?g(b)?g(a)易见F(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，故存在??(a,b),使得F'(?)?f'(?)?f(b)?f(a)'g(?)?0g(b)?g(a)''g(?)?0f因为（否则由上式可知(?)?0
5、），所以可把上式改写成f'(?)f(b)?f(a)'?g(?)g(b)?f(a)证毕。——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------定理2（Lagrange中值定理）若函数f(x)满足如下条件：(i)f(x)在[a,b]上都连续；(ii)f(x)在(a,b)上都可导，则在(a,b)内至少存在一点?，使得f'
6、(?)?证明：做辅助函数f(b)?f(a)b?a。f(b)?f(a)(x?a)b?aF(x)?f(x)?f(a)?显然，F(a)?F(b)?0且F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的另外两个条件，故存在??(a,b)，使得F'(?)?f'(?)?移项后即可得f(b)?f(a)?0b?af'(?)?证毕。接下来将给出Cauchy中值定理和Lagrange中值定理的其他证明方法：证法一：常数k法（Cauchy中值定理）利用常数k的辅助函数来证明一个等式往往是通过待定系数法的思-2-f(b)?f(a)b?a路来完成证明的，其符合人的
7、认识规律，易于理解。将Cauchy中值定理的结论改写成：f(b)?f(a)?——————————————————————————————————————------------------------------------------------------------------------------------------------f'(?)[g(b)?g(a)]?0g'(?)由条件g(a)?g(b)可知，一定存在一个常数k使得：f(b)?f(a)?k[g(b)?g(a)]?0成立。将上式中的常数b换成变量x,可以得到辅助
8、函数?(x)?f(x)?f(a)?k[g(x)?g(a)]<1>经检验，?(x)在在[a,b]上都连续，在(a
