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1、安阳师范学院安阳师范学院本科学生毕业论文柯西不等式的几种证明方法作者：系（院）：专业：年级：学号：指导教师：论文成绩：日期：安阳师范学院安阳师范学院学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使
2、用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名：导师签名：日期：安阳师范学院第15页安阳师范学院柯西不等式的几种证明方法冯**（安阳师范学院*****学院,河南安阳）摘要：文章首先给出了柯西不等式在时的简单证明，然后给出了一般柯西不等式的四种不同的证明方法，包括:排序不等式法、三种归纳证明法、逐步调整法、微分法.最后，对柯西不等式加以推广.关键词：柯西不等式；数学归纳法；微分法引言对不等式用反数学归纳法给出了一个精彩的证明,此后,
3、对不等式寻求各种不同的证明方法,一直是人们研究的一个热点.在证明的过程中产生了许多新的数学思想，鉴于此，文章将介绍它的四种证明方法及在一些方法中蕴涵的其它一些问题.这是一个关于自然数的命题，所以文章将从简单情形到一般情形进行讨论证明.定义1柯西（）不等式等号当且仅当或时成立（为常数，）.现将它的证明介绍如下:证明构造二次函数因为恒成立,所以即当且仅当即时等号成立.第15页安阳师范学院1简单情形先讨论这一情形例1设那么,当且仅当时等号成立证明如下图Ｙ＝ＸＣＤＸＯＹ＝ＸＥＥＥＢＡ设,,显然三角形与三角形的面积之和不小于矩形的面积.令可得.二
4、维已证，四维时:八维时:这样的步骤重复次之后将会得到令由这个不等式有即得到第15页安阳师范学院.2一般情形2.1排序不等式法为了讨论个正数的平均值之间的关系，先介绍一些有关的知识和结论.对于任意两列数③,④作和⑤,其中,分别是③,④的任一排列.现在，要确定在所有可能的这种和数中怎样的和最大?怎样的和最小?引理2.1.1（排序原理）给定的两列数③,④设,则在所有的和数⑤中且两者相等的充要条件是或者.证明若所有的相等或所有的相等,则一切和数都等于和因而引理得证.今设中有不相等的数,例:（1）,考察这两个和数中仅与互换了位置.其它各项不变,于
5、是从此式可看出若全不相等,则必存在,从而.此时,当然;若,则;若则.这表明的大小关系次序相同时的和数要比它们的大小次序相反时的和数来的大.由此推知：当{}与{}同序时和数最大;而当{},{}反序时和数最小.于是第15页安阳师范学院.引理2.1.2设为任意正数，则它们的算术平均值和几何平均值满足,当且仅当时等号成立.证明令,,,显然{}与{}反序,且当在{}从大到小排在第k(1位时，在{}中从小到大也排在第k(1位,故由排序原理知是这种形式的和数中最小的.于是此即.2.2柯西不等式法（数学归纳法）例2求证证明因为,同理第15页安阳师范学院
6、于是仿此推之，对任何正整数可得现设,并令,则①,即亦即易知,当且仅当时等号成立.柯西所使用的方法,其实是数学归纳法基本技巧的变形.在柯西的启发下得到了以下几种证明方法.证明首先利用数学归纳法证明不等式①对所有形如的整数成立.当时,,不等式①是成立的,且时等号成立.现在假设不等式①对的整数成立,即，其中,令第15页安阳师范学院，,,;则,,,仍是正数，应用上面的不等式,得,但代入不等式即得这就证明了①对的整数也成立.于是，根据归纳原理，不等式①对所有形如的整数都成立.2.3逐步调整法首先建立下面的简单结论.引理2.3.1正实数与的和为定值
7、,则当差愈小时乘积愈大,特别当时最大.证明因为所以由此看出当愈小时减数愈小,因而差愈大,于是乘积愈大;特别当时,差最大,因而乘积最大.例3现在利用逐步调整法来证明不等式①证明设若,则=;第15页安阳师范学院若不全相等,不妨设,令==,=,则仍有+++=且+=2=+.由引理1知因而,.若,,仍不全相等,则可用上面的方法,把这组正数调整为使它们的和不变,但有.如此下去,经有限步后,必可调整到一组新数,使得==，从而所以=.2.4微分法先证明一个引理引理2.4.1设,那么,当且仅当时取等号.证明设,则,令=0得,因为│=,所以函数在区间内只有
8、一个极值点,因此在有,于是,即,当且仅当时取等号.分别取引理中的为则有，第15页安阳师范学院，，，上述个式子相乘得即故①式成立且当且仅当时等号成立.2.5柯西不等式的应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵
