柯西收敛准则的证明

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1、万方数据科学之友FriendofScienceAmateurs2012年05月柯西收敛准则的证明★高俊芳，赵临龙(安康学院数学与应用数学研究所，陕西安康725000)摘要：在运用实教完备性6个基本定理的等价·陛中，文章给出了由其他5个定理来证明柯西收敛准则的方法，充分体现了实数完备性基本定理与柯西收敛准则的统一性。关键词：柯西收敛准则；确界；聚点；单调有界；有限覆盖；区闻套中图分类号：O174．1文献标识码：A文章编号：1000—8136l2012)14—0003—02柯西准则在数学分析中应用极为广泛，是数学分析的基础理论。文”。用两种证明方法，即用区间套定理和致密性定理证明柯西收敛准则。在

2、大多数研究成果中，都链条式地论证了实数系的基本定理，并最终形成一个论证环。”一柯西准则的证明是重点也是难点。尤其是其充分性。本文重在讨论柯西收敛准则充分性的证明，其必要性较为简便，本文只给出一种证法。1相关定理定理1(柯西收敛准则)：数列f％}收敛的充要条件是：对任给的s>0，存在正整数Ⅳ，使得当r／，m>N时，有1％一aml<￡。定理2(确界定理)：非空有界数集必存在确界。定理3(单调有界定理)．在实数系中，有界的单调数列必有极限。定理4(聚点定理)：实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。定理5(区间套定理)：若{[％，以])是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点f，使f∈[％，巩]，

3、月=1，2⋯，即如≤f≤巩。定理6(有限覆盖定理)：设何为闭区间【a，b]的一个(无限)开覆盖，则从日中可选出有限个开区间来覆[a，bo2柯西收敛准则必要性的证明易知，{％}有极限时(设极限为a)，{嘞}一定是一个柯西数列。因为Vs>O，存在正整数Ⅳ，当n，m>N时，有Iq一4J<三，"眯三。．‘．

4、％一amf≤I％一aJ+Iam一口IO，存在正整数Ⅳ>0，当n>N时，有Iq一口Ⅳl<詈，即J岛I≤IaNf+要，取s为固定值，则证得{嘞)有界。又由当疗>^r时。

5、la．一口ⅣI<导得到口Ⅳ一詈N时，锄一要≤艇以=“≤靠=sIJp嚷≤％+÷。于是，当月>N时，Cn一毛≤詈+詈N时，A一卿

6、一定理1)先证明柯西数列{％}有界，取￡=1，因为{％}柯西数列，所以存在某个正整数Ⅳ，当n>N时，有I吒一at；。l<1，即当，，>Ⅳ时，lanI≤laN+ll+l，即{％}有界。不妨设{嘞}≤[a，b]，即口≤岛≤6，我们用如下方法取得{“)的一个单调子列{吼。)：①取{靠。}E{靠}，使[d，嘞，]或[嘞，，b]中含有无穷多的[njb]中的顼；②在[口，％．]或[％．，6]中取得口。．E{％)且满足条件①；③取项时方向一致，要么由口_÷6，要么由6-+d。由数列{％)性质可知．以上3点可以做到。这样，取出一个数列{％。)∈{蚶且{％。}是一个单调有界数列，则它必有极限，设为a，下面我们

7、证明‰}收敛于口：VF>o，张>o，当朋，月，七>K时，同时有I％一amI<三(由柯西条件)，I～一口I<詈(由啦～=口o．‘．当取册=nk(k>K)时，绷嘞一口f≤fan一％。f+f吒一玎f<鲁+詈=s。．’．证得{受～=4。第三，(定理4—定理1){甜满足柯西条件，先证明概}有界点列，取s=l，则王Ⅳ∈Ⅳ．，对一切正整数P都有p(口Ⅳ，口Ⅳ+P)<1，令M=max{p(ai，％)}(f-I，2，⋯，疗)，．’．d({％})0．

8、Ⅳ∈M，当k>

9、n>N时，有户(锄。％+t)<主，p(ank，口)<三。VPEM，取一+P=m，则佩>k>疗，从而P(％，a)≤p(％．嘞+t)+p‘q，口)c詈+三=s，故有熙巩=。。★资助课题：安康学院大学生科技创新项目(编号：2009AKXYDXS06)；安康学院重点挟持学科建设项目(编号：AZXZ0107)一3一万方数据科学之友FriendofScienceAmateurs2012年05月浅谈连拱隧道动态施工数值模拟