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1、科学之友FriendofScienceAmateurs2012年05月＊柯西收敛准则的证明高俊芳，赵临龙（安康学院数学与应用数学研究所，陕西安康725000）摘要：在运用实数完备性6个基本定理的等价性中，文章给出了由其他5个定理来证明柯西收敛准则的方法，充分体现了实数完备性基本定理与柯西收敛准则的统一性。关键词：柯西收敛准则；确界；聚点；单调有界；有限覆盖；区间套中图分类号：O174.1文献标识码：A文章编号：1000－8136（2012）14－0003－02柯西准则在数学分析中应用极为广泛，是数学分析的基础又由区间套定理，存在数A是所有区间［bn，c
2、n］的公共点，［1］理论。文用两种证明方法，即用区间套定理和致密性定理证∴bn≤A≤an，而对任意正整数n，当k≥n时，bank=inf≤ak≤kn≥明柯西收敛准则。在大多数研究成果中，都链条式地论证了实supac=。kn数系的基本定理，并最终形成一个论证环。［2～4］柯西准则的证明kn≥ε是重点也是难点，尤其是其充分性。本文重在讨论柯西收敛准于是
3、A－ak
4、≤（cn－bn），由（1）得当n＞N时，an－≤3则充分性的证明，其必要性较为简便，本文只给出一种证法。εinfak＝bn≤cn＝supak≤an＋。1相关定理k≥nk≥n3εε定理1（柯西收敛准
5、则）：数列{a}收敛的充要条件是：对于是，当n＞N时，cn－bn≤+<ε，∴当k＞N时，A－n33任给的ε＞0，存在正整数N，使得当n，m＞N时，有
6、an－am
7、＜ε。ak＜ε，即有limak=A。k→∞定理2（确界定理）：非空有界数集必存在确界。第二，（定理3→定理1）先证明柯西数列{an}有界，取定理3（单调有界定理）：在实数系中，有界的单调数列必ε＝1，因为{an}柯西数列，所以存在某个正整数N，当n＞N时，有极限。有
8、
9、aanN−+1<1，即当n＞N时，
10、an
11、≤
12、aN＋1
13、＋1，即{an}有界。定理4（聚点定理）：实轴上的任一有界无限点集至少
14、有一不妨设{an}≤［a，b］，即a≤an≤b，我们用如下方法取得个聚点。{an}的一个单调子列{an}：①取{an}∈{an}，使［a，an］或［an，定理5（区间套定理）：若{［an，bn］}是一个区间套，则kkkkb］中含有无穷多的［a，b］中的项；②在［a，an］或［an，b］在实数系中存在唯一的一点ζ，使ζ∈［an，bn］，n＝1，2⋯，kk中取得an∈{an}且满足条件①；③取项时方向一致，要么由即an≤ζ≤bn。k＋1a→b，要么由b→a。定理6（有限覆盖定理）：设H为闭区间［a，b］的一个（无由数列{an}性质可知，以上3点可以做到。限
15、）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆［a，b］。这样，取出一个数列{an}⊆{an}且{an}是一个单调有界数kk2柯西收敛准则必要性的证明列，则它必有极限，设为a，下面我们证明{an}收敛于a：易知，{an}有极限时（设极限为a），{an}一定是一个柯西∀ε>0，∃>K0，当m，n，k＞K时，同时有
16、
17、aa−<ε（由nmε2数列。因为∀ε>0，存在正整数N，当n，m＞N时，有
18、
19、aan−<，ε2柯西条件），
20、
21、aank−<（由limaank=）。ε2k→∞
22、
23、aa−<。m2∴当取m＝nk（k＞K）时，得
24、an－a
25、≤
26、an－an
27、＋
28、an－a
29、k
30、k∴
31、an－am
32、≤
33、an－a
34、＋
35、am－a
36、＜ε，这就证明了{an}是一个εε<+=ε。∴证得limaan=。柯西数列。22k→∞k3柯西收敛准则充分性的证明第三，（定理4→定理1）{an}满足柯西条件，先证明{an}有界点列，取ε＝1，则∃NN∈+，对一切正整数P都有ρ（aN，aN＋第一，（定理2→定理1）{an}是柯西数列，则易证{an}是有εP）＜1，令M＝max{ρ（ai，aj+P）}（i＝1，2，⋯，n），∴d（{an}）界数列：∀ε>0，存在正整数N＞0，当n＞N时，有
37、
38、aanN−<，＜M＋1，即证得{an}有界。3ε由于{an}有界，
39、由聚点定理推论知{an}存在收敛子列{an}，即
40、an
41、≤
42、aN
43、＋，取ε为固定值，则证得{an}有界。k3设limaan=，下证limaan=。k→∞kk→∞εεε又由当n＞N时，
44、
45、aanN−<得得到aaNn−<<+aN（1）由柯西条件与收敛定义，∀ε>0，∃NN∈+，当k＞n＞N时，333εε{an}有界则存在b，c，s.t∀εai∈{an}（i＝1，2，⋯，n）有b有ρ（an，an＋k）<2，ρ（ank，a）<2。≤ai≤c（i＝1，2，⋯，n），即b与c分别为数列中所有数的上∀PN∈+，取n＋P＝nk，则nk＞k＞n，从而ρ（an，a）≤界和
46、下界，由确界原理知，其必有确界，对任意正整数n，设εεba==inf,casup，∴b≤c。ρ
