柯西收敛准则.pdf

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1、《数学分析》观摩课教案教学内容柯西收敛准则教学目的:1.理解柯西收敛准则;2.理解柯西收敛准则的充分性的证明方法及思想;3.掌握柯西收敛准则的应用.教学重点:对柯西收敛准则的理解及其应用.教学难点:柯西收敛准则的充分性的证明方法及思想.教学方法:探究式教学与启发式教学相结合.教学时间:45分钟.引入数列的柯西收敛准则:数列{a}收敛⇔∀ε>∃∈∀>0,NnN,,mN,有aa−<ε.n+nm提问(探究问题起源)考虑到数列是一类特殊的函数，即定义在正整数集N上的函数,那么函数极限的收敛+性是否也有类似的判定准则呢？猜想结论(探究结论)设问一怎么叙述“极限limf()x存在(或

2、收敛)”类似的判定准则?x→+∞第1页，共6页《数学分析》观摩课教案(备注：其实质是将一个离散的结论，即数列的柯西收敛准则推广的连续的情形，见上图)出现情况应对策略分析数列极限定义与函数极限定义二者的区别，找到二者的异同,引导与启发学生直至写对为止.limaa=∀⇔ε>0,∃N∈∀N,nN>,有aa−<ε;进入n+n不能写对n→∞设问二limf()xb=∀⇔ε>0,∃A>0,∀xA>,有fxb()−<ε;x→+∞能写对写出对应判定准则.写出设问一对应的判定准则极限limf()x存在⇔∀>∃>∀ε0,Ax0,',"x>A,有fx(')(")−

3、“极限lim()fx存在(或收敛)”类似的判定准则?xa→(备注：其实质是如何用数学语言来描述“x无限趋近于a”和“x无限增大”)出现情况应对策略分析函数极限两种情况的异同及定义的本质,引导与启发学生直至写对为止.limf()xb=∀⇔ε>0,∃A>0,∀xA>,有fxb()−<ε;x→+∞不能写对lim()fxb=⇔∀>∃>∀<−<ε0,δ0,x:0xaδ，有fxb()−<ε.xa→能写对写出对应判定准则.写出设问二对应的判定准则定理9.(柯西收敛准则)极限lim()fx存在⇔xa→∀>∃>∀ε0,δδ0,xx',":0<−

4、−∃>∀<−<ε0,δ0,x:0xaδ,有fxb()−<ε.xa→(3)柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：极限存在的函数的变量愈接近a，函数值彼此愈接近，以至于变量充分接近于a的任何两个

5、函数值之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数.论证(探究证明方法)必要性(⇒)证明方法与数列情况完全类似.充分性(⇐)由于数列的柯西收敛准则的充分性的证明要到第四章才证明,因此这里没有可类比参考的证明方法,那我们怎么来证明这个问题?(探究证明方法的根源所在)已知条件需证结论∀>∃>∀ε0,δδ0,xx',":0<−∃>∀<−<ε0,δ0,x:0xaδ,有fxb()−<ε.xa→第3页，共6页《数学分析》观摩课教案结

6、合复习海涅定理lim()fxb=⇔对任意数列{a},aa≠,且limaa=,有lim()fab=.nnnnxa→n→∞n→∞启发学生通过一个数列来找极限值b?首先考虑取某个数列{a}(非任意数列),a≠a,且limaa=,则nnnn→∞数列{(fa)}是否收敛?n在不知道数列{(fa)}的极限值的前提下，判断一个数列是否收敛的方法之一——数列n的柯西收敛准则(充要条件).利用柯西收敛准则证明数列{(fa)}收敛.n通过数列找到极限值b之后,启发学生又如何完成证明.设lim()fa=b,若能证明lim()fx=b即可,即只需证明nn→∞xa→∀>∃>∀<−<ε0,δδ0,x

7、x:0a,有fxb()−<ε.怎么找正数δ?由于limaa=,因此a可以充分靠近a,见下图nnn→∞a−δaaxa+δn由条件可知∃>∀δ0,xx',":0<−δ0,只要0,就有n+n→∞fa()−