函数极限柯西收敛准则(教案)

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1、数学学院教学比武教案（李松华）教学内容函数极限的柯西收敛准则教学目标根据大纲对本节的具体要求，同时针对我院学生的心理特点和认知水平，结合教材，本着使学生全面发展的原则，确定本节课的教学目标如下：1．知识目标：○1熟练掌握函数极限的柯西收敛准则及应用，尤其是函数极限的柯西收敛准则与数列极限的柯西收敛准则的异同；○2理解柯西收敛准则的充分性的证明方法及思想.2．能力目标：○1培养学生运用柯西收敛准则解决极限存在问题的能力；○2掌握从一般到特殊、从特殊到一般的数学解题方法；○3培养学生主动学习和创新学习的精神，形成

2、自主学习的良好习惯，获得终身受益的自学能力。3．情感目标：○1结合本节的教学，向学生渗透数学思维与意识，使学生对数学学科更加热爱；○2培养学生“从一般到特殊、从特殊到一般”的认知规律。教学重点○1函数极限的柯西收敛准则及应用；○2函数极限的柯西收敛准则与数列极限的柯西收敛准则二者的异同。教学难点柯西收敛准则的充分性的证明教学方法探究式教学与启发式教学相结合学习方法使学生掌握“从一般到特殊、从特殊到一般”的推理方法，熟悉“比较对照、区别异同”的学习方法教学时间45分钟.第1页，共7页数学学院教学比武教案（李松华

3、）引入数列极限的柯西收敛准则:数列{}a收敛⇔∀ε>∃∈∀>0,NnN,,mN,有n+aa−<ε.nm提问(探究问题起源)考虑到数列是一类特殊的函数，即定义在正整数集N上的函数,那么函数极限的收敛+性是否也有类似的判定准则呢？猜想结论(探究结论)设问一怎么叙述“极限limf()x存在(或收敛)”类似的判定准则?x→+∞(备注：其实质是将一个离散的结论，即数列的柯西收敛准则推广的连续的情形，见上图)出现情况应对策略分析数列极限定义与函数极限定义二者的区别，找到二者的异同,引导与启发学生直至写对为止.limaa=

4、∀⇔ε>0,∃N∈∀N,nN>,有aa−<ε;进入n+n不能写对n→∞设问二limf()xb=∀⇔ε>0,∃A>0,∀xA>,有fxb()−<ε;x→+∞能写对写出对应判定准则.写出设问一对应的判定准则第2页，共7页数学学院教学比武教案（李松华）极限limf()x存在⇔∀>∃>∀ε0,Ax0,',"x>A,有fx(')(")−

5、极限两种情况的异同及定义的本质,引导与启发学生直至写对为止.limf()xb=∀⇔ε>0,∃A>0,∀xA>,有fxb()−<ε;x→+∞不能写对lim()fxb=⇔∀>∃>∀<−<ε0,δ0,x:0xaδ，有fxb()−<ε.xa→能写对写出对应判定准则.写出设问二对应的判定准则定理9.(柯西收敛准则)极限lim()fx存在⇔xa→∀>∃>∀ε0,δδ0,xx',":0<−

6、决了函数极限的存在性问题(充分必要条件);(2)柯西收敛准则把ε−δ定义中x与a的之差换成x'与x"之差.其好处在于无需借助函数以外的数b，只要根据函数本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性;(注意与函数极限ε−δ定义的比较)lim()fxb=⇔∀>∃>∀<−<ε0,δ0,x:0xaδ,有fxb()−<ε.xa→(3)柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：极限存在的函数的变量愈接近a，函数值彼此愈接近，以至于变量充分接近于a的任何两个函数值之差的绝对值第3页，共7页数学学院教学比武教案（李松华）

7、可以小于预先给定的任意小正数.论证(探究证明方法)必要性(⇒)证明方法与数列情况完全类似.充分性(⇐)由于数列的柯西收敛准则的充分性的证明要到第四章才证明,因此这里没有可类比参考的证明方法,那我们怎么来证明这个问题?(探究证明方法的根源所在)已知条件需证结论∀>∃>∀ε0,δδ0,xx',":0<−∃>∀<−<ε0,δ0,x:0xaδ,有fxb()−<ε

8、.xa→结合复习海涅定理lim()fxb=⇔对任意数列{a},aa≠,且limaa=,有lim()fab=.nnnnxa→n→∞n→∞启发学生通过一个数列来找极限值b?首先考虑取某个数列{a}(非任意数列),a≠a,且limaa=,则nnnn→∞数列{(fa)}是否收敛?n在不知道数列{(fa)}的极限值的前提下，判断一个数列是否收敛的方法之一——数列n第4页，共7页数学学院教学比武教案（李松华）的