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时间:2020-09-06
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1、柯西极限存在准则柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理,给出了数列收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,存在着这样的正整数N,使得当m>N,n>N时就有
2、Xn-Xm
3、<ε这个准则的几何意义表示,数列{Xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,在数轴上一切具有足够大号码的点Xn中,任意两点间的距离小于ε.充分性证明:(1)、首先证明Cauchy列有界取ε=1,根据Cauchy列定义,存在自然数N,对一切n>N,有Ia(n)-a(N+1)I<1。令M=max{
4、a(1)
5、,
6、a(2)
7、
8、,…,
9、a(N)
10、,
11、a(N+1)
12、+1}则对一切n,成立
13、a(n)
14、≤M。所以Cauchy列有界。(2)、其次在证明收敛因为Cauchy列有界,所以根据Bolzano-Weierstrass定理(有界数列有收敛子列)存在一个子列aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。(注意这种证明方法是实数中常用的方法:先取点性质,然后根据实数稠密性,考虑点领域的性质,然后就可以证明整个实数域的性质了)因为Cauchy列{a(n)}的定义,对于任意的ε>0,都存在N,使得m、n>N时有
15、a(m)
16、-a(n)
17、<ε/2取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得
18、aj(k)-A
19、<ε/2因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时,我们有
20、a(n)-A
21、<=
22、a(n)-aj(k)
23、+
24、aj(k)-A
25、<ε/2+ε/2=ε这样就证明了Cauchy列收敛于A.即得结果:Cauchy列收敛
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