柯西极限存在准则.doc

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1、柯西极限存在准则柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有

2、Xn-Xm

3、<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点Xn中，任意两点间的距离小于ε.充分性证明：(1)、首先证明Cauchy列有界取ε=1,根据Cauchy列定义，存在自然数N，对一切n>N，有Ia(n)-a(N+1)I<1。令M=max{

4、a(1)

5、,

6、a(2)

7、

8、，…，

9、a(N)

10、，

11、a(N+1)

12、+1}则对一切n，成立

13、a(n)

14、≤M。所以Cauchy列有界。（2)、其次在证明收敛因为Cauchy列有界，所以根据Bolzano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。（注意这种证明方法是实数中常用的方法：先取点性质，然后根据实数稠密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了）因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的ε>0，都存在N,使得m、n>N时有

15、a(m)

16、-a(n)

17、<ε/2取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得

18、aj(k)-A

19、<ε/2因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时，我们有

20、a(n)-A

21、<=

22、a(n)-aj(k)

23、+

24、aj(k)-A

25、<ε/2+ε/2=ε这样就证明了Cauchy列收敛于A.即得结果：Cauchy列收敛