柯西准则及其应用

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1、柯西准则及其应用摘　要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用．关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性朗读显示对应的拉丁字符的拼音 字典引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只

2、就一种情形来讨论，即设函数在内有定义，存在的充要条件是：任给，存在正数(<)，使得对任何，，都有<．事实上，当，，，，五种情形函数极限存在的柯西准则可以类比，它们的应用也非常广泛．本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方面问题的优越性和博大精深之处．1柯西准则的其它五种形式定理1.1设函数在内有定义．存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，，均有<．证必要性设，则对任给的>，存在正数(<)，使得对有．

3、于是对有充分性设数列且，按假设，对任给的>，存在正数(<)，使得对任何，，有由于对上述的>存在>使得当>时有第12页从而有．于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列的极限存在，记为，即．设另一数列且，则如上所证，存在，记为．现证，为此，考虑数列易见且，故仍如上面所证，也收敛．于是，作为的两个子列，与必有相同的极限，所以由归结原则推得．证毕定理1.2设函数在内有定义．存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，，均有<．以下利用定理1.2和致密性定理证明数列极限的柯西准则的充分性．证充分性设数列满足柯西

4、条件，先证明是有界的．为此，取，则存正整数，当及时有由此得．令则对一切正整数均有．于是，由致密性定理可知，有界数列必有收敛子列，设．对任给的，存在，当时，同时有(由柯西条件)，（由）．因而当取时，得到第12页．这就证明了．有归结原则：对任何有充分性即证．必要性　设．有数列极限定义，对任给的，存在当时有因而．由归结原理知，即可证得．证毕注归结原则的意义在于实现函数极限和数列极限的相互转化，从而可以应用归结原则和数列极限的有关性质解决函数极限问题．定理1.3充分大的>，设函数在内有定义．存在的充要条件是

5、：任给，存在正数，使得对任何>，>，均有<．证先证必要性．设，按照定义，，，，于是<．再证充分性．设，，<．任意选取数列，．则对上述，．有．这说明函数值数列是基本数列，因而必定收敛．根据相应的归结原则，可知存在而且有极限．第12页证毕注上述证明过程中用到了基本数列，下面介绍基本数列的定义如果数列具有以下特征：，则称数列是一个基本数列．定理1.4充分大的>，设函数在内有定义．存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何<，<，均有<．证必要性设，则对任给的，存在正数，使得对任何有．于是对任何有充分性设

6、数列且．按假设，对任给的，存在正数，使得对任何，有．由于对上述的，存在使得当时有，从而有于是，按数列的柯西收敛准则，数列的极限存在，记为，即．设另一数列且，则如上所证，存在，记为．现证，为此，考虑数列易见且，故仍如上面所证，也收敛．于是，作为的两个子列，与必有相同的极限，所以由归结原则推得第12页．证毕定理1.5充分大的>，设函数在内有定义．存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，均有<．定理1.5的证明可以类似前面4个定理的证明．2归纳柯西准则在数学分析中的应用．2.1柯西准则在实数完备性理

7、论中的应用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架．作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则入手，可依次推出其它五个定理．2.1.1　用数列的柯西收敛准则证明确界原理．证设为非空有上界数集．由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得为的上界，而不是的上界，即存在，使得．分别取则对每一个正整数，存在相应的，使得为的上界，而不是的上界，故存在，使得．（1）又对正整数，是的上界，故有．结合（

8、1）式得；同理有．从而得．于是，对任给的，存在，使得当时有．由柯西收敛准则，数列收敛．记．（2）现在证明就是的上确界．首先，对任何和正整数有，由(2)式得第12页，即是的一个上界．其次，对任何，由及(2)式，对充分大的同时有．又因不是的上界，故存在，使得．结合上式得．这说明为的上确界．同理可证：若为非空有下界数集，则必存在下确界．2.1.2用平面点列收敛的柯西准则证明闭区间套定理证在闭域套的每一个闭域内任取一点，构成一个各点各不相同的平面点列，则对一切自然数，由于，以