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1、柯西准则及其应用摘要：柯西准则是实数完备性六大定理Z-,它是极限论的基础.它的应用贯穿于数学分析课程学习始终.一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就兀—勺一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五利情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方血的灵活应用.关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性引言：柯四准则是实数完备性六大定理Z-,它是极限论的基础.它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终•一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就XTX。一种情形来讨论，即设函数于(切在［
2、/匕°;夕)内有定义，lim/g)存在的充要条件是：任给£>0,存在正数5«夕)，使得对任何#,ret/°(x0；3、/(/)-/(r)
4、<^.事实上，当无T对，XTX；,兀T+00,XT-00,X—g五种情形函数极限存在的柯西准则可以类比，它们的应用也非常广泛.本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方而的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方面问题的优越性和博大精深Z处.1柯西准则的其它五种形式定理1・1设函数/在〃°+(心;夕)内有定义.lim/(
5、x0)存在的充要条件是：任给£〉0,存入f£在正数6(<,使得对任何#,兀"wt/°+do；5),均有
6、/(/)-/(^)
7、<^.证必要性设imfM=A,则对任给的£>0,存在正数5(<夕)，使得对VxGt/°+(x0;5),W
8、/(x)-A
9、<-.于是对VZ兀"Gt/°+(x0;J),有2y(#)-f(xn)10、/(x")-A
11、<
12、+
13、=^充分性设数列{£}u(/°+(Xo；»)且lim©=兀°，按假设，对任给的£>(),存在正数》(<夕),"->8使得对任何#，ret/°+(x0;^)
14、,有
15、/(/)-/^)
16、<^.由于xn^x0(h^oo),对上述的/>0,存在N>0,使得当仏m>N时有*g(/°+(x0;^)从而有于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列｛/（£）｝的极限存在，记为A,即lim/（xn）=A.72—>00设另一数列｛y”｝ut/°+（x°0）且lim儿=%，贝U如上所证，lim/（儿）存在，记为B・现证HT8B=A,为此，考虑数列｛©J：州』，兀2』2,儿,…易见匕｝U〃°+（Xo；夕）且恤乙=%，故仍如上面所证，｛/（Z”）｝也收敛.于是，作为的〃一>8两个子列，｛/（£）｝与
17、｛/（儿）｝必有相同的极限，所以由归结原则推得lim/（x）=A・XT对证毕定理1・2设函数/在t/【（x（）;夕）内有定义.lim/Uo）存在的充要条件是：任给£>0,存在止数沢C）,使得对任何H,re（/0_（x0;^）,均有
18、/（#）-/（巧
19、<£・以下利用定理1・2和致密性定理证明数列极限的柯西准则的充分性.证充分性设数列｛色｝满足柯西条件，先证明匕｝是冇界的.为此，取£二1,则存止整数N,当加=N+1及/t〉N时有%-讣由此得匕店an-ClN++%+]
20、SI。“一+K+l
21、<皿+
22、
23、+1•令M=ma
24、x｛
25、坷
26、，血
27、…，Sn
28、，
29、%iI+1｝•则对一切正整数〃均冇anK时，同时有色-和<"
30、（由柯西条件），%一V彳（山limd饮二A）•2因而当取m=nk（>k>K）时，得到Cln-an_%+ank~A+_=-这就证明了lim%=A./t—>00有归结原则：lim于(x)=Ao对任何£TXoO?->oo)有lim/()=A・x->x(r〃too充分性即证.必要性设lima“=4・有数列极
31、限定义，对任给的£〉0,存在N>0当m,n>N时有4”_4
32、vf，an~A<~9因而am-C{n§Clm~A+UfJ~A<~+~=^-由归结原理知，即可证得.证毕注归结原则的意义在于实现函数极限和数列极限的相互转化，从而可以应用归结原则和数列极限的有关性质解决函数极限问题.定理1.3充分大的M>0,设函数/在1/(+0))内有定义.lim/w存在的充要条件是：任给£〉()，存在正数使得对任何,均冇
33、/(/)-/(xff)
34、<^.证先证必要性.设Um/(x)=A,按照定义,W>0,BM{>0,M、〉M,VH,x
35、n>MxXT+O0f(*)—a
36、v彳，f(兀")-a
37、v彳・于是
38、/(V)-/(z)
39、<
40、/(/)-A
41、+
42、/(r)-a
43、<£.再证充分性.设Vg>0,3A/,>0,M
44、〉M,V#,xn>M,
45、/V)-/(#')
46、v£・任意选取数列{%“},limxzl=+oo.则对上述M
47、〉()，BN>0,Vn,m>N,兀“，xm>M}.有'丿n->oo这说明函数值数列{/(£)}
