11、+
12、/(Z)-A
13、V#+*=£•充分性设数列{£}u(/°+(Xo；e且linu“=兀0,按假设，对任给的£>(),存在正数》(<夕),"->8使得对任何#,ret/°+(x0;^),有
14、/(/)-/^)
15、<^.由于xn^x0(h^oo),对上述的/>0,存在N>0,使得当n,m>N时有x十g(/(x0;^)从而有
16、/（£）-/（几）〔<£•于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列｛/（£）｝的极限存在，记为A,即li
17、m/（xn）=A.72—>00设另一数列｛y”｝ut/°+（x°0）且lim儿=%，贝U如上所证，lim/（儿）存在，记为B・现证HT8B=A,为此，考虑数列｛z小兀1必，兀2*2,…，暫，儿,…易见匕｝U〃°+（兀0；夕）Jliimz”二％0，故仍如上面所证，｛/（z“）｝也收敛.于是，作为的〃一>8两个子列，｛/（£）｝与｛/（儿）｝必有相同的极限，所以由归结原则推得lim/W=A・XT对证毕定理1・2设函数于在夕）内有定义.lim/（x0）存在的充要条件是：任给£〉0,存在止数5（C）,使得对任何Ze（/°_（%0^）,均有
18、/（/）-/（xw）
19、<^.以下利用定理1・2和致密性
20、定理证明数列极限的柯西准则的充分性.证充分性设数列｛色｝满足柯西条件，先证明匕｝是冇界的.为此，取£二1,则存止整数N,当加=N+1及/t〉N时有色一％
21、<1・由此得匕店an-ClN++%+店应一+K+l
22、<皿+l
23、+1•令M=max,a2，…，a科,aN^+1｝.则对一切正整数〃均冇an0,存在K〉0,当加，h,k>K时，同时有^-^
24、<
25、（由柯西条件），%_T<专（山血％=人）・2因而当取m=nk（>k>K）时，得到an~A-an_%+%_人+•这就证明了limtz,,=A./t—>
26、00有归结原则：lim/（x）=Ao对任何£TXoO?->oo）有lim/（）=A・大一>々「"Too充分性即证.必要性设lima“=4・有数列极限定义，对任给的£〉0,存在N>0当m,n>N时有4”_4
27、vf，an~A<~9因而am-C{n§Clm~A+UfJ~A<~+~=^-由归结原理知，即可证得.证毕注归结原则的意义在于实现函数极限和数列极限的相互转化，从而可以应用归结原则和数列极限的有关性质解决函数极限问题.定理1・3充分大的M>0,设函数/在1/（+0））内有定义.lim/⑴存在的充要条件是：任给£〉（），存在正数使得对任何/>M,,兀">M「均冇
28、/（/）-/（Z）
29、
30、<^・证先证必要性.设Um/（x）=A,按照定义，Vg〉O,BM{>0,M、〉M,VH,xn>MxXT+O0f（x，）一內v彳’A（*）—內v手于是
31、/（v）-/（r）
32、<
33、/（/）-a
34、+
35、/（z）-a
36、<£.再证充分性.设Vg>0,BM,>0,M
37、〉M,V#,xn>M,任意选取数列{%“},lim=+oo.则对上述M
38、〉（），BN>0,Vn,m>N,兀“，xm>M}.有'丿n->oo这说明函数值数列{/（£）}是基本数列，因而必定收敛.根据
