柯西准则及其应用 毕业论文.doc

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1、柯西准则及其应用摘要：柯西准则是实数完备性六大定理2—，它是极限论的基础.它的应用贯穿于数学分析课稈学习始终.一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就XT*。一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则,同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用•关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础•它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终•一•般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就-种情形来讨论，即设函数/⑴在(心夕)内有定义，lim/

2、Qo)存在的充要条件是：任给£>0,存在正数XT勺〃(vF),使得对任何八Fw〃匕。0),都有”、(#)-/(则)

3、VI事实上，当兀T对，XTX；,XT+OO,XT-耳，x->o)五种情形函数极限存在的柯西准则可以类比，它们的应用也非常广泛•本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同吋探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方而问题的优越性和博大精深Z处.1柯西准则的其它五种形式定理1・1设函数/在t/°+(x0;^)内有定义.lim/(x0)存在的充要条件是：任给£>0,存在正数J

4、(<,使得对任何”，#鼻［/°+(观;小，均有

5、.f(#)-/(x")

6、vc证必要性设lim/(x)=A,则对任给的£>0,存在正数5«5’),使得对Vxet/°+(x0;^),<

7、/(x)-A

8、<-.于是对Vx；兀"w有f(x，)-f(x")

9、Sf(xr)-A

10、+

11、/(X*)一A

12、V彳+#=£・充分性设数列｛兀｝u卩°+0();»)且lim£=x0,按假设，对任给的£>(),存在正数/(vF),“一>00使得对任何#，XnGt/°+(如;5),有f(x)-f(xn)<£.由于对丄述的5>0,存在N>0,使得当仏〃>N时有

13、勺兀”wt/°+Oo；/)从血有

14、/（暫）-/（兀”）

15、<£・于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列｛/（£）｝的极限存在，记为4即lim/（xJ=A・>co设另一数列｛y“｝ul/；（Xo；夕）且1曲儿=入，则如上所证，limf（儿）存在，记为B・现证S“T8B=A,为此，考虑数列｛?“｝：旺」,兀2，力，…,“，儿，…易见匕｝ut/°+（x（）;F）且limqr。，故仍如上面所证，｛/（_）｝也收敛.于是，作为｛/（_）｝的"TS两个子列，｛/（兀）｝与｛/（儿）｝必有和同的极限，所以由归结原则推得lim/（x）=A・XT斗，证

16、毕定理1・2设函数/在心夕）内有定义.lim/（x0）存在的充要条件是：任给£〉0,xfv°存在正数/（C）,使得对任何，均有

17、/（/）-/（xw）

18、<^.以下利用定理1.2和致密性定理证明数列极限的柯西准则的充分性.证充分性设数列｛%｝满足柯四条件，先证明匕｝是有界的.为此，取6-=1,则存正整数N,当m=N+l及“〉N时有暫一绻

19、<1・由此得©店k”一S+知+店an~孤+」+

20、孤+」<+l

21、+1•令M=max｛

22、a1

23、,

24、a2

25、,-^,

26、a^

27、,

28、^+1

29、+l｝.则对一切正整数〃均有an

30、数列｛%｝必有收敛子列｛%｝,设!ima,“=A・对任给的£〉0,存在K>0,兰m,fi,k>K时，同时有色-①卜了由柯西条件），ank_A

31、

32、5an~atlk+altk-A

33、<

34、+j=^.这就证明了lima,,=A.n—>co有归结原则：lim/(x)=A<=>对任何x„->^0(m—>qo)有lim/(£)=A."一>00充分性即证.必要性设lirnf/,,=A・有数列极限定义，对任给的£>0,存在N>0当m,n>N吋有Q,“_A

35、V'

36、，_內<彳，

37、因而%厂anS仏一A

38、+1舛_出V专+专=£•由归结原理知，即可证得.证毕注归结原则的意义在于实现函数极限和数列极限的相互转化，从而可以应用归结原则和数列极限的有关性质解决函数极限问题.定理1・3充分大的M>0,设函数/在U(亦)内有定义.lim/(x)存在的充要条件是：任给£〉()，存在正数使得对任何x'>M},x">M},均有

39、/(/)-/(Z)

40、<6-.证先证必要性.设lim/(x)=A,按照定义，V^>0,3M,>0,M{>M,VH,xn>MxXT+8于是!/(/)-/(z)

41、<

42、m

43、+

44、/(z)-a

45、<6-.再证充分性

46、.设Vg>0,3Mt>0,M

47、>M,Vx；xn>M}任意选取数列{暫},limx”=+cc.则对上述M

48、〉()，BN>0,V/i,m>N,xt),xm>M}.有

49、/(x„)-/(xw)

50、<^.这说明函数值数列{/(兀)}是基本数列，因而必定收敛.根