柯西收敛准则在数列中的应用

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1、柯西收敛准则在数列中的应用陈亚男郧阳师专湖北十堰442000摘要：运用柯西收敛准则可以解决一些无法运用“N”定义，“公式法”，“裂项求和”，“两边夹法则”等比较复杂的数列问题。柯西收敛准则在数列中是把“N”定义中an与a的关系换成了an与am的关系。其好处都在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。关键词：柯西收敛准则111题型一：证明数列{an}，an=1+++⋯+收敛。2232?2分析：由于此题不满足数列极限定义的条件，则不能由“N”定义解答。经过尝试“公式法”，“裂项求和”，“两边夹法则”等也无法解答。在此基础上可以想到用柯

2、西收敛准则，柯西收敛准则要求对>0，存在N，当n，m>N时有111111??−??=?+12+?+22+⋯+?≤??+1+?+1?+2+⋯+?−1?111111111=−+−+⋯+−=−此题可证。?ε1证明：对>0，取?=，当n，m>N时，有ε111111??−??=?+12+?+22+⋯+?≤??+1+?+1?+2+⋯+?−1?111=−知<ε。故

3、an-am

4、<。由柯西收敛准则知，数列{an}收敛。ε?sin1sin2sin?题型二：证明an=++⋯+是收敛的。2222?证明：对>0

5、，m，n>N，要使sin?+1sin?+2sin???−??=2?+1+2?+2+⋯+2?N时恒有

6、am-an

7、<?ε由柯西收敛准则知，数列{an}收敛。n推广到：证an=p0+p1q+„+pnq（其中

8、pi

9、

10、q

11、<1）收敛。分析：此题可按照上述的解题方法。证明：对对>0，m，n>N，要使??−??=??+1??+1+??+2??+2+⋯+????

12、1+??+2??+2+⋯+????

13、q

14、<，取?=log??−1则当n>N时恒有

15、am-an

16、<，由柯西收敛准则知，数列{an}收敛。n小结：以后遇到形如an=p0+p1q+„+pnq（其中

17、pi

18、

19、q

20、<1）这样的题型，证明数列收敛，就可以优先考虑柯西收敛准则。题型三：若数列{an}存在常数M，对一切n有An=

21、a2-a1

22、+

23、a3-a2

24、+„+

25、an-an-1

26、≤M，试证明：（1）{An}数列

27、为收敛数列。（2）{an}为收敛数列。分析：首先看到这个题目，因An≤M，可以想到单调有界定理。又由于

28、a2-a1

29、，

30、a3-a2

31、，„，

32、an-an-1

33、在形式上与柯西收敛准则有一定联系。可尝试用柯西收敛准则。证明：（1）因为对一切n有An≤M，所以{An}为有上界数列。又由于An+1-An=

34、an+1-an

35、≥0所以{An}为单调增数列，由单调有界定理可知，{An}收敛。（2）因为n，mN，有

36、am-an

37、=

38、am-am-1+am-1-am-2+„+an+1-an

39、≤

40、am-am-1

41、+

42、am-1-am-2

43、+„+

44、an+1-an

45、=Am-An=

46、Am-An

47、由上述证明可知

48、是收敛数列。由柯西收敛准则可知>0，m，n>N，有

49、Am-An

50、<，从而

51、am-an

52、<由柯西收敛准则可知，数列{an}收敛。111题型四：探讨??=1+++⋯+的收敛性。23?分析：由于无法应用“N”定义，“公式法”，“裂项求和”，“两边夹法则”等方法解答此题。可尝试运用柯西收敛准则，对对>0，N，当n，m>N时有

53、an-am

54、<。111解：??−??=++⋯+?>??+1?+1?1111取m=2n，??−??>+++⋯+=2?2?2?21取ε=，n当m=2n时

55、xm-xn

56、>，故数列发散。2参考文献：[1]邓乐斌,数学分析的理论、方法与技巧.

57、华中科技大学出版社,2005.[2]华东师范大学数学系,数学分析(第三版)(上册).北京:高等教育出版社,2001.Cauch'sConvergenceCriterionAppliedintheSequenceName:ChenYananSchool:YunyangTeacher’sSchoolAdd:Shiyan,HubeiProv.P.C.:442000Abstract:Useof"Cauch'sConvergenceCriterion",Canbesolveso