拉格朗日中值定理的证明方法.pdf

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1、第１４卷第５期高等数学研究Ｖｏｌ．１４，Ｎｏ．５２０１１年９月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＳｅｐｔ．，２０１１辅导篇拉格朗日中值定理的证明方法张喆，张建林，姜永艳（中原工学院理学院，河南郑州４５０００７）摘要分类总结拉格朗日中值定理的各种证明方法，并加以分析讨论，以求深化对微分中值定理的理解．关键词微分中值定理；证明；辅助函数中图分类号Ｏ１７２．１文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１１）０５－００５７－０４微分中值定理，作为微分学中的重要定理，是微行化归来实现．下面就是从分析的角度构造出辅助分学应用的理论基础，是微分学的

2、核心理论．微分中函数的若干方法．值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰１）原函数构造法勒定理．它们是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是为了利用罗尔定理来推证，以从后向前推的思利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具．路，构造一个函数使它满足罗尔定理的第三个条件，其中拉格朗日中值定理是核心，从这些定理的条件同时又能从罗尔定理结论中推导出来拉格朗日中值和结论可以看出罗尔定理是其特殊情况，柯西定理定理的结论．和泰勒定理是其推广．本文着重讨论的就是拉格朗要从罗尔定理的结论日微分中值定理的证明．Ｆ′（ξ）＝０人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百中推出拉

3、格朗日定理的结论多年的时间．从费马定理开始，经历了从特殊到一ｆ（ｂ）－ｆ（ａ），ｆ′（ξ）＝般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段．ｂ－ａ显然只需要人们正是在这一发展过程中，逐渐认识到微分中值定理的普遍性．目前，对微分中值定理的证明方法，ｆ′（ξ）－ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝Ｆ′（ξ）．ｂ－ａ除了数学分析或高等数学课本上的之外，还有很多由于一次函数的导数是常数，可以猜想出（或通过两值得学习借鉴的方法．基于微分中值定理的重要意边积分）得到辅助函数应设为义，同时为了使老师、学生都能更加全面、深入地理ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）解微分中值定理，掌握其证明技巧，本文对几种典

4、型Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ＋ｃ，ｂ－ａ的证明方法［１－３］进行了分类总结．其中ｃ为常数．由验证可知，它满足罗尔定理三个条件，为计算方便起见，可取ｃ＝０．１利用构造辅助函数方法证明［４］７８２）参数变易法微分中值定理的证明方法很多，一般来说都是目的仍然是构造一个函数Ｆ（ｘ）且满足通过构造辅助函数来完成的，但是如何辅助函数却Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）．是一个难点问题．下面针对构造辅助函数的方法分这时若令别从几何和分析角度加以分析．Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－Ａ－ｋ（ｘ－Ｂ），１．１分析法其中Ａ和Ｂ是任意实数，那么由于柯西、拉格朗日中值定理和罗尔中值定理Ｆ（ａ）＝ｆ（ａ）－Ａ－ｋ

5、（ａ－Ｂ），之间存在着一般与特殊的关系，所以证明拉格朗日Ｆ（ｂ）＝ｆ（ｂ）－Ａ－ｋ（ｂ－Ｂ），和柯西中值定理的方法可以利用向罗尔中值定理进要使以上两式相等，只需ｆ（ａ）－ｋａ＝ｆ（ｂ）－ｋｂ，收稿日期：２０１０－０８－１２；修改日期：２０１１－０８－０２．故仍然可设参数作者简介：张喆（１９７９－），女，河南郑州人，硕士，讲师，主要从事组合最优化研究．Ｅｍａｉｌ：ｚｚｘｑ２０１０＠１２６．ｃｏｍ；ｋ＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ），张建林（１９７７－），男，河南洛阳人，硕士，讲师，主要从事微ｂ－ａ分方程研究．Ｅｍａｉｌ：ｄｅｆａ２００１＠１６３．ｃｏｍ．由此所得Ｆ（ｘ）

6、即可满足要求．５８高等数学研究２０１１年９月３）行列式法或者由于要求ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）（ｘ－ｂ）＋ｆ（ｂ）］．Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－［ｂ－ａＦ（ａ）＝Ｆ（ｂ），如此所得辅助函数均满足故可根据行列式的性质，设Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０．ａｆ（ａ）１其实，曲线Ｌ与任何一条平行于弦ＡＢ的直线Ｆ（ｘ）＝ｂｆ（ｂ）１，在ｘ＝ａ和ｘ＝ｂ两处的高度差皆对应相等，为简单ｘｆ（ｘ）１起见，不妨取平行于弦ＡＢ且过原点的直线为参考，如此所得辅助函数满足构造辅助函数Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０．ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）４）利用弦倾角法Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ，ｂ－ａ目的同前．设连接连续曲线如此所得辅

7、助函数也满足要求．Ｌ：｛（ｘ，ｆ（ｘ））｜ａ≤ｘ≤ｂ｝２）利用面积构造辅助函数两端点Ａ和Ｂ的弦为ＡＢ（图１），其倾倾斜角为θ，则不难发现，曲线Ｌ上任意一点Ｐ（ｘ，ｆ（ｘ））与弦ππ，－＜θ＜ＡＢ组成的△ＡＢＰ的面积Ｓ（ｘ）恰好在区间［ａ，ｂ］２２上满足罗尔定理的三个条件．根据向量积的几何意ｔａｎθ＝ｓｉｎθ＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ），ｃｏｓθｂ－ａ义不难证明，△ＡＢＰ的面积也即有ａｆ（ａ）１１ｆ（ｂ）ｃｏｓθ－ｂｓｉｎθ＝Ｓ（ｘ）＝ｂｆ（ｂ）１，２ｆ（ａ）ｃｏｓθ－ａｓｉｎθ，ｘｆ（ｘ）１所以可令因此只需构造辅助函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｃｏｓθ－ｘｓｉｎθ，Ｆ（ｘ

8、）＝Ｓ（ｘ）．如此所得辅助函数Ｆ（ｘ）即可满足要求．３）旋转坐标轴