拉格朗日中值定理的证明.docx

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1、拉格朗日中定理是微分学中最重要的定定理来明。理之一，它是沟通函数与其数之的梁，也是微分学的理基。一般高等数学教材上，大都是用定理明拉朗日中定理，直接出一个助函数，把拉格朗日定理的明用定理，明的关是出—个助函数。怎构作一助函数呢?出两种构造助函数的去。定理：函数足在[a，b止，在(a，b)内可，且f(a)=f(b)，在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o(如图1)。拉格朗日定理：若f(x)足在『a，b』上，在(a，b)内可，在(a，b)内至少存在_∈，使(如图2).比定理条件，定理中端点函数相等，f

2、，而拉格朗日定理两端点函数不作限制，即不一定相等。我要作的助函数，除其他条件外，一定要使端点函数相等，才能:1.首先分析要明的等式：我令⋯⋯(1)只要能明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈t就可以了。由有，f(b)-tb=f(a)-ta⋯⋯(2)分析(2)式，可以看出它的两分是F(X)=f(x)-tx在b,a点的。从而，可助函数F(x)=f(x)-tx。函数F(x)满足在{a.b{上，在(a，b)内可，且F(a)=F(b)。根据定理，在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=

3、O，也即f(∈)=t，代人(1)得2.考函数我们知道其导数为且有F(a)=F(b)=0.作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且fF。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’从而有结论成立.