谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

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1、谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)谈谈拉格朗日中值定理的证明引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用.研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的.拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数.实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个.但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法.首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几

2、何意义作一概述.1罗尔?Rolle?中值定理如果函数f?x?满足条件：?1?在闭区间?a,b?上连续；?2?在开区间?a,b?内可导；（3）f?a??f?b?,则在?a,b?内至少存在一点?,使得f'????0罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线y?f?x?在点A,B处的纵坐标相等，那么，在弧AB上至少有一点C??,f????，曲线在C点的切线平行于x轴，如图1，注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于?a,b?的?，使得f'????0.这就是说定理的条件

3、是充分的，但非必要的.??中值定理2拉格朗日?lagrange若函数f?x?满足如下条件：?1?在闭区间?a,b?上连续；?2?在开区间?a,b?内可导；则在?a,b?内至少存在一点?，使f'????f?b??f?a?b?a拉格朗日中值定理的几何意义：函数y?f?x?在区间?a,b?上的图形是连续光滑曲线弧AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB.如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若f?x?在闭区间?a,b?两端点的函数值相等，即f?a??f?b?，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理.换句话说，罗尔中值定理是拉格

4、朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数f?x?作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.?3证明拉格朗日中值定理3.1教材证法f?b??f??a证明作辅助函数F?x??f??x?xb?a显然，函数F?x?满足在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，而且F?a??F?b?．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点??a???b?，使F'????f'????f?b??f?a?f?b??f?a??0.即f'????.b?ab?a3.2用作差法引入辅助函数法f?b??f?a??证明作辅助

5、函数??x??f?x???f?a???x?a???b?a??显然，函数??x?在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，??a????b??0，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点???a,b?，使得?'????f'????f?b??f?a?f?b??f?a??0，即f'????b?ab?a推广1如图3过原点O作OT∥AB，由f?x?与直线OT对应的函数之差构成辅助函数??x?，因为直线OT的斜率与直线AB的斜率相同，即有：1f?b??f?a?f?b??f?a?x，于是引入的辅，OT的直线方程为：y?b?

6、ab?af?b??f?a?x.（证明略）助函数为：??x??f?x??b?aKOT?KAB?推广2如图4过点?a,O?作直线A'B'∥AB，直线A'B'的方程为：f?b??f?a??x?a?，由f?x?与直线函A'B'数之差构成辅助函数??x?，于是有：b?af?b??f?a??x?a?.（证明略）??x??f?x??b?ay?推广3如图5过点作?b,O?直线A'B'∥AB，直A'B'线的方程为y?f?b??f?a??x?b?，由f?x?与直线A?B?b?a函

7、数之差构成辅助函数??x?，于是有：??x??f?x??f?b??f?a??x?b?.b?a事实上，可过y轴上任已知点?O,m?作A/B/∥AB得直线为y?f?b??f?a?x?m，b?a从而利用f?x?与直线的A'B'函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数??x?都可以用来证明拉格朗日中值定理.因m是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.3.3用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅2助函数是用曲线函数

8、f?x?减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数f?x?，即可得与之对称的辅助函数如下：f?b??f?a??⑴??x???f?a???x?a???f?x??b?a??f?b??f?a?x?f