考研：微分中值定理的证明题汇总.pdf

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1、微分中值定理的证明题1.若fx()在[,]ab上连续，在(,)ab上可导，fa()fb()0，证明：R，(,)ab使得：ff()()0。x证：构造函数Fx()fxe()，则Fx()在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且Fa()Fb()0，由罗尔中值定理知：（ab,)，使F()0即：[()ffe()]0，而e0，故ff()()0。ba2.设ab,0，证明：(,)ab，使得aebeeab(1)()。1111111ba111证：将上等式变形得：e

2、ee(1)()baba11111作辅助函数fx()xex，则fx()在[,]上连续，在(,)内可导，baba由拉格朗日定理得：11ff()()ba1111f()(,)，11baba111baee1ba1111即(1)e(,)，11bababe即：aebeeab(1)(,)(,)ab。23.设fx()在(0,1)内有二阶导数，且f(1)0，有Fx()xfx()证明：在(0,1)内至少存在一点，使得：F()0。证：显然Fx()在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又FF(0)(1

3、)0，故由罗尔定理知：x(0,1)，使得Fx()0002又Fx()2()xfxxfx()，故F(0)0，于是Fx()在[0，x]上满足罗尔0定理条件，故存在(0,x)，使得：F()0，而(0,x)(0,1)，即证004.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，f(0)0，f(1)1.证明：(1)在(0,1)内存在，使得f()1．//(2)在(0,1)内存在两个不同的点，使得f()f()1【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗

4、日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令F(x)f(x)1x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在(0,1),使得F()0，即f()1.（II）在[0,]和[,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同f()f(0)f(1)f()的点(0,),(,1)，使得f()，f()01f()1f()1于是f()f()1.115.设f(x)在[0，2a]上连续，f

5、(0)f(2a)，证明在[0,a]上存在使得f(a)f().【分析】f(x)在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到f(a)f()f(a)f()0f(ax)f(x)0【证明】令G(x)f(ax)f(x)，x[0,a]．G(x)在[0,a]上连续，且G(a)f(2a)f(a)f(0)f(a)G(0)f(a)f(0)当f(a)f(0)时，取0，即有f(a)f()；当f(a)f(0)时，G(0)G(a)0，由根的存在性定

6、理知存在(0,a)使得，G()0，即f(a)f()．6.若f(x)在[0,1]上可导，且当x[0,1]时有0f(x)1，且f(x)1，证明：在(0,1)内有且仅有一个点使得f()证明：存在性构造辅助函数F(x)f(x)x则F(x)在[0,1]上连续，且有F(0)f(0)00，F(1)f(1)10，由零点定理可知：F(x)在(0,1)内至少存在一点，使得F()0，即：f()唯一性：（反证法）假设有两个点,(0,1)，且，使得F()F()0121212F(x)在[0,

7、1]上连续且可导，且[,][0,1]12F(x)在[,]上满足Rolle定理条件12必存在一点(,)，使得：F()f()1012即：f()1，这与已知中f(x)1矛盾假设不成立，即：F(x)f(x)x在(0,1)内仅有一个根，综上所述：在(0,1)内有且仅有一个点，使得f()17.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f()=1。试2证至少存在一个(0，1)，使f()=1。分析：f'()=1f'(x)=1f(x)=xf(x)x=0令F(x

8、)=f(x)x证明：令F(x)=f(x)xF(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，F(1)=f(1)11