2011考研证明题系列-题目4

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1、这道题看上去就比较容易入手。因为题目有两个问题，一般来说，第一问是为第二问做铺垫的，往往第二问可以用到第一问的结论，就算用不到，第一问也会给第二问带来很明确的方向。还是条件入手，分析条件，从正向边界，平面区域，不难得出此题是二重积分和曲线积分的转换问题，应该使用格林公式来做。于是分别对第一问左右两边用格林公式，转换成二重积分。对比二重积分的被积表达式，发现其实并不完全一样。所以这个时候我们又得考虑一下，是不是哪个条件没有用上。仔细观察下给的条件，发现积分区域没用上，这个区域有个特点，就是很对称，不过

2、不关于x轴也不关于y轴对称，而是关于y=x对称。于是OK了。利用这种对称性，成功的证明两个二重积分是相等的了！下面接着做第二问。第二问是一个不等式问题，如果没有第一问的铺垫，也算是比较难的了，不过有了第一问，那么就相对简单些了。先做一些处理这一步也算是得力于第一问了。就是利用y=x对称的这个性质！这样一来，我们将多变量转换成了单变量，这也是做题的一种策略！可是即使做到这一步，我们也无法直接得出结论，并且e^sinx这种函数是无法积分（准确说无法找出初等原函数），加上题目本身也不是让你准确积出来，而是

3、证明不等式，所以联想到放缩！于是下一步考察e^x+e^（-x）这个函数的性质为了能够积分容易，泰勒公式是一个不错的选择，它将各种函数都弄成了幂函数的形式，而幂函数正是很容易积分的形式。于是，将e^x+e^（-x）在x=0点展开。一放缩，本题就得出答案了，具体过程如下。最后总结一下这道题目题目分析过程不算特别难，主要就是格林公式的应用和二重积分的对称性，以及最后的泰勒公式展开。但是有两个地方值得挖掘（1）题目可以一般化！方法与上面一模一样，这里不赘述。不过需要注意的是，第二问就无法证明大于等于5/2π

4、^2,只能证明大于等于2π^2（2）对于本题的第二问，我们可以从解答中看出，还可以继续不断的进行更强的放缩得到的结果也更加强！这一种方法给我们的启示就是：对于那种无法积出具体分的积分不等式，我们可以利用泰勒展开来做。适当放缩就可以得到答案！下面就这个方法，给一道习题此题左边比较容易，右边稍微有点难，可以尝试一下！