2011考研证明题系列-题目5

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1、看见这道证明题，首先第一步是对比一下两边的差异。仔细观察积分限，被积函数，发现只有抽象函数f里面的表达式变了，而且变的很有规律！可以说，相当于用一个变量去替换了x^2，所以此时此刻，我们很容易想到积分换元，于是可是，这个时候麻烦又出现了。原因有两点（1）积分下限没改变但是上限变了（2）多了个系数2这个时候，我们得想办法处理，如何才能将这个东西向已知结论靠拢呢？考虑到积分区间的可加性，我们不妨将这个积分的区间分开成两段，其分界点为a。也许有人会问，你为什么想到要在a点取分界点，我个人认为原因有两点。原因1：我们要证明的式子最后的积分上限就是a,所以我主动构造出

2、来一个，后面那个看能不能用什么方法处理使得也变成结论形式原因2注意到我给的这个式子，a对于抽象函数而言，相当于是一个比例中项，也就是平衡位置。所以，选取这一点，对后面的问题处理也有一定帮助！（不过这个理由有点抽象，需要一定的数学基础才能比较好的认知）不过理由1是很明确的，是证明题的要素之一：朝着目标转化！接下来就是对这个表达式的处理了还是同样的思想，我们应该朝着目标转化，也就是说，积分限需要变成1，a！那么我们需要找到一个适当的变化，使得能够满足条件。其次，在这种变换下，我们不允许f内的自变量形式发生任何变化，一旦变化，由于是抽象函数，所以根本无法处理。在这

3、两种条件的限制下，我们考虑下述变换。这种变换的优势体现在两点：一是f内部函数形式没变，二是积分限出现了a,1，也就是目标！因此，我们有理由相信，这种方法是可以行得通。PS：其实，在找出这种方法为正确的变换之前，我也尝试了一些其他的变化所以，证明不是一步就能看出来的，而需要不断去修正，去尝试。具体解答如下总结一下这道题目我们能够学习到的东西。（1）证明题的根本思想，朝着目标转化！（2）定积分换元的技巧，考虑结论的形式（3）对于解题过程中，也需要不断的尝试。失败不可怕，因为失败之中，也可能含有成功的线索！下面两道练习题，大家有兴趣自己试试。两道题都不太难，练习2

4、还有多种方法。