2011考研证明题系列-题目7

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1、这是一个积分等式问题。处理积分等式的方法通常有几种，第一种是利用构造辅助函数来证明，另外一种则是利用分部积分来证明。这道题，我们得仔细观察下形式是怎样的。不难发现，这个形式与泰勒的展开式极其相似。所以我们可以将关注的焦点放在泰勒展开上面。于是，很自然的，考虑构造辅助函数。注：这种构造方法是很常见的，无论是在证明积分不等式还是积分等式！都可以先转换成积分上限函数，通过其性质来证明相关命题！下一步是将这个积分上限函数展开成泰勒展开式。这里又涉及到两个问题：1）到底应该展开成几阶的。这时候，我们应该看看题目

2、要证的命题需要我们展开到几阶。明显，题目里面出现了条件具有二阶导数，所以最多可以展开到二阶，而命题中也有2阶导数，所以，我们需要把这个积分上限函数展开到3阶！2）应该在哪一点展开。从结论中也可以看出，需要在(a+b)/2点展开。于是，展开式如下：这个时候，离最后的证明还差一些，就是怎么在这样的条件下得到需要的式子。令x=b，这个时候可以得到需要的左边的式子。但是右边还差一些这时候可以再令x=a.此时，左边等于0，右边奇数次导数项和上面的式子的奇数次导数项互为相反数，而偶数次导数项相同，一旦相减，就离最

3、后的结论更近了。于是我们得到了如下的解法最后一步利用连续介值定理（条件有说二阶导数连续）来做的，这一步看似简单实际上却是很重要而且很容易被大家忽略的一步。不这样做，容易出现以下的一种错误！这种方法是对知识掌握不牢固的同学容易犯的错误。因为在泰勒公式里面，ξ是一个变量，准确的写法应该是f(ξ(x))，也就是说，ξ是关于x的函数，所以上面式子的最后一项的积分是积不出来的！最后，对此题进行小结。这道题是典型的将积分（不）等式先构造相应的积分上限函数来做的，其中涉及的知识有泰勒展开和连续性介值定理。题目的条件

4、告诉了我们，一般来说，一道题目是没有无用的条件，如果条件没有用完，那么很可能你的方法是错误的。比如这道题的那种错误的解法！没有用到二阶导数连续！最后练习一道题吧！