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1、第自然科学版,卷第期广西师范大学学报年月!拉格朗日中值定理的一个新证明谢元红欧阳宇锋数学系摘要应用区间套定理给出了拉格朗日中值定理一个新的证明。,区间套区间套定理关桩词拉格朗日中值定理分类号·,,。众所周知微分学有三大基本定理而其中拉格朗日中值定理是应用最广泛的定理关于,,,它的证明绝大部分教科书都是以费马定理为出发点采用作辅助函数的方法再应用罗尔定理来进行证明。本文将结合导数的定义与区间套定理给出拉格朗日中值定理一个新的证明。,为了证明定理首先给出
2、两个引理,,。,,,引理设函数在习上有定义且在任处可导又气风〕为一闭区间,,月二。,。风一气套且则尹凡」卜口心凡司卜心风一气,证明由于气风只可能是以下种情形之一。,。存在当时有气风昧时。,存在当有二。,。,,存在当有月。一,。,、,。广。二,、二。风一月一风一一气故可由等式,一火“一花厂一了一一一万,一牛丁一气了花厂一二月一气尸,“,,。,“,一尸一苗—尸一二“
3、,。。,、,人,,、‘,、二,一一一二’。石不不厂一气夕多白甘少仕灶日汗得到一,。风一,,一月二。,,。,,。,,,。,。,设在〔。〕上连续则存在〔。口二〔,〕且,一一。一使得引理鲁‘。本文于年月日收到第期谢元红等拉格朗日中值定理的一个新证明一一一一·设一卜卜,一,证明宁宁参。一一。。粤华乙乙一,,、飞,,、、,,、‘厂气夕言火夕十叻夕夕一一下尸
4、夕厂又夕一‘乙、,、,,气二不夕一火口夕一,,。。,乙、、一如果则井乙口幼月又口口一一下尽。一一川‘一一了,,,,,如果笋由于在队司上连续故由介值定理知存在任使得一,即一了。了一。一了一。喜掣乙擎‘乙、、二,十火一二万一夕一火一下犷一夕乙‘一一“。,,。,,。,。,。,贝」〔。口二〔。口且,一一,一也能满足引理要求此时取粤‘下面证明拉格朗日中
5、值定理满足设函数,,在闭区间〕上连续,。在开区间内可导,,则在内至少存在一点誉使得一尹匀一,。,,。,。,证明由引理知存在〔月习二巨。〕且月一一鲁。一使得‘月一一一一月,,,,,,。,,。。,在巨月〕上再次应用引理则存在仁月口二巨月习二二。〕且月一一去,一使得‘夕一一一月厂占一,“,,,,上述步骤无限进行下去则得到一个区间套月且满足风一气一,,,一
6、⋯月气一,,,,2a,,aZ,2a,,,aZ由闭区间套定理知存在一点奋任月〔月]仁(占)〔占]仁(占)事实上当ala,aZ-3a+b,Za+baZ,2a,,.一一时可取此时b-从而有〔占〕二(b)且lim气=lim风=泞从而42一‘O巴月~」卜心洲J由引理1知广西师范大学学报(自然科学版)第1卷f(风)一f(气)f(b)一f(a)f(b)一f(a)尹(泞)=lim=lim风一气b一ab一a定理证毕。参考文献1..,汪林编数学分析中的问题与反例云南科技出版社199。’ANEAYTOPROVELAGRANGESWWEANVALUETHEOREMMeua
7、nonanunXiYhgOYgYfegeartentoateates(DPmfMhmi)sraCneaorovearane’5eanvaueteore5venusneteoreoAbttAwwytplggmlhm1giigthhmfnterva。illest’eorsarane5eanvaueteore;nestonterva;teoreonestontervaKywdggiLmlhmflhmffil(责任编辑苏良亿)
