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1、总第期第期贵阳金筑大学学报!!∀年#月积分中值定理的应用∃邓晓红%贵阳金筑大学计算机科学系贵州贵阳!!!&∋、,,摘要积分中值定理是《数学分析》《高等数学》课程中定积分部分的基本性质之一在教学过程中学生在运用这一知识点解决有关的数学问题,,,,比较困难常常面对练习题不知如何下手通过三个方面列举例题加以归纳总结力求体现积分中值定。理在学习解题练习中的应用∋关键词积分中值定理∋!()文献标识码∋∗文章编号∋(+)(一+(%!!∀&!一!((+一!((,中图分类号一、积分中值定理值定理等途径,从而达到有关问题的证明。,。5,,为方便叙述先给出积分中值定理例(设22,,函数.%/&在1
2、34上连续在%3&可导且−∋6定理%积分第一中值定理&%&7/8%3一。&.%2&,其中。〔12,34/0/2,,0/2,价若函数.%&与%&在闭区间13〕上连续且%&在1∋2,,8,,,!3〕上不变号则2证明在%3&内至少存在一点泞使厂%勃在〔34上至少存在一点资使∋,。,%了&、%了&76一.%。&%了&7/证明由积分第一中值定理知在1司上存在一点使户价、9,7/一‘“,.“’一∋2,,,价注该定理中0%/&在13〕是可积且不变号结论仍成9一“·。而%,7/‘一,.‘,二价积分第∋二中值定理所以.%2&8.%<&,由尺=>−?%罗尔&中值定理,在%2,<&〔∋2,,0定理若函数.%/&在区
3、间〔3」非负单调递减%/&为可2,3,8!%&内至少存在一点泞使厂%的,2,积函数则存在〔任13〕使得/,,例设函数.%&在【!们上连续且·0了一·了、&%&,−,%&%&:−/,%二&7/一“‘≅,:=一!少价价价‘试证∋在%!,Α,泞∋使们内至少存在两个不同的点寿∋2,,定理若在1日上.%/&&;且单调递增0%/&为可积函(88.%泞&.%泞&!数,则存在2,好任〔叼使得∋,/?【,。证若.%/&二;!司结论显然成立了&、%·&心一,%“,工,7/假使.%/&并,Α?%!,二,伽加!由积分定中值定理存在行&使9一−一·Α一。&。。Χ,。∀∋2,,,,%&、,%。&%%。&定理若在13」上
4、.%/&为单调函数0%/&为可积函数Β∋一则存在2,妥任Β川使得,,/二(,&内.%&!只右、6一工·工·工若在%!有一个实根%&、%&。.%&%&7/.%。&%&7/一二一,之,ΑΑ,二,户价价由.%&7/。可知.%&在%。。&与%。&内异号Β∋、二积分中值定理的应用。,(/Δ;,∋,/=,不妨设在%泞&内.%&在%右动内.%&Ε而(5Φ具有某些性质的点的存在问题在%,ΑΓ,!&为单调下降所以52在积分知识的学,习过程中有关定积分具有某种性质工&一二&,=Η一,‘点的存,。,知加Ι−7/方.%/Φ在性的论证是学生学习的一难点一般我们应仔细Φ,、观察被:=Η泞(积函数所具有的性质注意利用微分中
5、值定理积分中&7/∋!!∀一!一(,收稿日期∋(#+,,,。作者简介邓晓红%一&女讲师主要从事高等数学教学与研究((+5,‘·,‘Δ形.%/一一Ι−&心.%/一一Ιϑ&7/理&有狡·∋6ΚΓ,二‘,‘,一,“厂料尸卜条Λ犷卜子一。,≅一,,,,,“&7/。矛盾于是除。外右〔1∗4打.%/&加5,Φ二一。Π,二/8,∗十%Ν创Ο&,Θ在%!&内了%&!至少还有一个实根右故至少存在两个令Φ:=有陀。2‘6一万一Β簇干−,,,,,88相异的实根右魏任%!&使.%.&.%芍&!再令·有·“左7Ο一。,故·∃−ΡΑΣ些−ΡΤ·例,证明,若.%6&在。·,。,≅∃ΒΑ笋丁Α∋上连续且%&7/,一ΟΜ2
6、3.5协%&2Ο8‘￡一,·,。,,,(万厂∋%&7/。则在%&内至少存在两点。。使Μ%!&乃5、Γ几,5,,一/(Σς(Υ当Λ/Λ/二Κ%(二>二!例+设.%&Μ%右&当Λ/ΛΔ−,。证明方法与例相同证明从略试计算,、二了%9&血%“Δ!,‘∀设/2,,2,丈呼例函数.%&在【川上连续在%3&内二阶可一∋占‘二ΤΣ,,/,5,Ρ吞(Λ+导5且解取Β则.%&在1=4上递减由积分第二中值定理有.%.%。&一二二兴Β认&Ο−/二还一‘一小口一“62&心.%!&,%/&由,∋2,二伽粤方呵∋试证存在一点右〔%3&使厂%的!乎证明∋2,/&,。若在【司上.%二;则结论显然成立业丛众%!Ε。Ε3’假设【
7、2,/&,,“,司上.%葬!由积分第一中值定理在汇司一,上至少存在2,一点Ω%实际上在开区间%3&内一定存在这样的厂各:&%二&7/一,%‘&%。一。&,所二∃使得以花%&、,Κ一一Β兮兴Β兮因此−Ρ’Σ−Ρ(Σ62口“6Ξ刀.%/&厂粉晋28+8:。/2,。,。,吞,.%&.%&.%&又因.%&在14Ψ上连续在5积分不等式当%2,。&,%。,3&内,∋,〔%2,。,奋可导由罗尔中值定理存在右
