积分中值的定理的改进及应用

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1、本科毕业论文（设计）模板本科学年论文论文题目：积分中值定理的改进及应用学生姓名：张莉宁学号：1204180130专业名称：信息与计算科学班级：计科1201指导教师：崔喜宁20完成日期：2015年6月25日积分中值定理的改进及应用摘要积分中值定理是积分学中基本定理。本文对积分第一、二中值定理给出了相应的证明，并给出了定积分第一中值定理改进形式的一些应用，从而在一定程度上推广和改进了积分中值定理的某些已有的结果。关键词：定积分第一、二中值定理改进证明20TheimprovementandapplicationofI

2、ntegralmeanvaluetheoremAbstractTheintergralvaluetheoremisbasictheoreminintergralcalculus.Inthispaper,wegivethecorrespondingproofforthefirstoftheintergralsandthetwotheorens.Someapplicationofthefirstvaluetheoremfordefiniteintergralisgiven.Topromotetoacertainex

3、tentandimprovetheintergralmeantheoreminsomeexistingresults.KeyWords：AsecondvaluetheoremfordefiniteintergralsImproveprove20目录序言5一、积分第一中值定理520二．定积分第一中值定理的改进形式7三、积分第二中值定理10四．定积分第一中值定理的改进形式的应用12(一)利用改进后积分中值定理求极限12(二)利用改进后积分中值定理进行相应的证明13五、积分第二中值定理的应用14（一）第二定理的直接应

4、用14（二）积分第二中值定理在不等式中的应用15六、在力学方面的应用15（一）求平均速度15（二）求对空间累计的平均作用力16七总结16参考文献1720序言积分中值定理是积分学中的基本定理，现行教材中所给中值定理中的取值于积分中值定理的应用带来很大的不便，改进后的积分中值定理取值于开区间，这为积分中值定理的应用带来很大的空间。一、积分第一中值定理定理１若函数在闭区间上连续，则在上至少存在一点使得[1]．评述　定理１的几何意义如图１所示：由函数在区间上所形成的曲边梯形的面积，等于以为底、高为的矩形的面积．（图１）

5、　　证明　由闭区间上连续函数的最大最小值定理知函数在上取到最大值（设为）和最小值（设为）．于是对于有．　　　　　　　　　　　　　　(1)　(1)中的三部分都是可积的，在上进行积分，利用定积分对于被积函数的单调性，可得20．　　　　　　　　(2)　　　(2)式的几何意义如图２所示．（图２）由(2)式可得．于是，由介值定理可知在上至少存在一点使得，于是我们得到　　定理２若函数在闭区间连续，函数在可积且不变号，则在上至少存在一点使得[1]．　　评述　定理１明显是定理２当时的特殊情况．如果先叙述定理２，则定理１可作为定

6、理２的推论，就不必单独证明了．然而先易后难符合人们的认识规律，而且，在许多情况下应用的就是定理１的形式，所以，先叙述定理１，再叙述定理２，比较自然．　　证明　不妨设对于有．设函数在上取到最大值20和最小值，则对于有，　　　(3)及．　　　　　　　　(4)(3)式中的三部分都是可积的，分别在上积分，由定积分对于被积函数的单调性可得．　　　　　　　(5)由知有．如果，则由④式知也有，从而都使成立；因而以下只需考虑的情况．在的情况下，(5)式可改写为．　　　　　　　　　　　　　(6)于是，由介值定理，在上至少存在一点

7、使得，由此可得　(7)20二、定积分第一中值定理的改进形式定理３若函数在闭区间连续，则在开区间内至少存在一点使得．[1]　　评述　定理３与定理１的区别仅在于点的位置．开区间是闭区间的子集，因而定理３的结论比定理１的结论强．为了证明定理３，只需在定理１的基础上证明点一定可以不取为区间的端点．证明　如果函数在区间上恒为一常数，则命题明显成立，因为可取为开区间内任意一点．于是以下只需考虑在区间上不恒为常数的情形．在不恒为常数的情况下，若上面定理１的结论中的点取作了区间的端点，例如，由定积分的几何意义，既不应该是在区间

8、上的最大值，也不应该是在区间上的最小值．于是，在等式成立的情况下，必及使，，，其中与与上文一样分别是在区间的最小值与最大值，如图３或图４所示．（图３）　　　　　　　　　　　　　　（图４）20于是，由介值定理，在点与点之间上至少存在一点使得，点既不与点重合，也不与点重合，于是点既不是点，也不是点，因而，而且．可以类似地处理的情况．▐　　定理４若函数在闭区间连续，函数在可积且不变号，则在开