微积分-中值定理及导数应用

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1、3.1中值定理3.2洛必达法则3.3函数的单调性与极值3.4函数图形的描绘3.6导数在经济中的应用结束第3章中值定理、导数应用定理1设函数满足下列条件(3)(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导;则在内至少存在一点，3.1.1罗尔定理ab使得几何解释如图在直角坐标系Oxy中曲线两端点的连线平行于轴,其斜率为零故在曲线弧上定有一点使曲线在该点的切线平行于弦，即平行于轴。即则在区间内至少存在(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；定理2设函数满足下列条件一点，使得3.1.2拉格朗日中值定理曲线处处有不垂直于轴的切线如图在直角坐标系Oxy端点连线AB的斜率为所以定理实际是说存

2、在点，使曲线在该点的切线T平行于弦AB。即2.在开区间内可导，1.在闭区间上连续；定理3Cauchy中值定理则在区间内定有点使得3.1.3柯西中值定理设函数与满足如下条件：Rolle定理是Lagrange定理的特例:在Lagrange中值定理中如果则Lagrange中值定理变成Rolle定理；Cauchy定量是Lagrange定理的推广在Cauchy中值定理中如果，则Cauchy化为Lagrange中值定理。三个中值定理的关系如果在某极限过程下,函数f(x)与g(x)同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。一般分为三种类型讨

3、论：3.2洛必达法则1．型不定式2．　型不定式．3．其它型不定式定理1设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：存在或为1．型未定式．（为任意实数）例1求解例2求解例3求解此定理的结论对于时型未定式同样适用。例4求解2．　型不定式．的某空心邻域内有定义，且满足如下条件与在该邻域内都存在，且则定理2设函数与在点例5求解:定理2的结论对于时的型未定式的极限问题同样适用。例6求解则可继续使用洛必达法则。即有能满足定理中与应满足的条件，与还是型未定式，且如果如果反复使用洛必达法则也无法确定则洛必达法则失效.此时需用别的办法判断未定式的极限。或能断定的极限，无极限，例7求解这

4、个问题是属于型未定式，但分子分母分别求导后得此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。但原极限是存在的，可用下法求得3．其它型不定式未定式除和型外，还有型、型、等五种类型。型、型、型、型或者型型：变为例8求解型:通分相减变为型例9求（型）解型未定式:由于它们是来源于幂指函数的极限因此通常可用取对数的方法或利用即可化为型未定式，再化为型或型求解。例10求解所以例11求解设所以（型）例12求（型）所以解3.3函数的单调性与极值定理1设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则：1.若在(a,b)内,则f(x)在区间(a,b)内单调增加2.若在(a,b)内,

5、则f(x)在区间(a,b)内单调减少。abab3.3.1函数的单调性及判别法例2确定函数的单调区间.可导，且等号只在x=0成立.解因为所给函数在区间上连续，在内例1判定函数在区间上的单调性.所以函数在区间上单调增加.解所以当x=-1,x=1时x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f´(x)+0-0+f(x)解函数的定义域且在定义域内连续例3确定函数的单调区间。其导数为当时不存在，且不存在使的点用把定义域分成两个区间，见下表：x(-∞,0)(0,+∞)f´(x)-+f(x)单增单减反之，如果对此邻域内任一点，恒有则称为函数的一个极小值，称为极小值点。3.3.2函数的极值定

6、义设函数在点的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点，恒有，则称是函数的一个极大值，称为函数的一个极大值点；函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。ABCDE极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。从图中可看出,极小值不一定小于极大值，如图中D点是极小值，A点是极大值。定理3（极值第一判别法）：设函数在点的某邻域内连续，且在此邻域内（可除外）可导（1）如果当时，而当时，则在取得极大值。（）如图所示：在，在，在取得极大值。（2）如果当时，而当时，则在取得极小值。（）如图

7、所示：在，在，在取得极小值。（3）如果在两侧的符号不变，则不是的极值点，如图示（）(4)利用定理3,判断(2)中的点是否为极值点,如果是求极值点的步骤：(1)求函数的定义域(有时是给定的区间);(3)用(2)中的点将定义域(或区间)分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点.(2)求出,求出使的点及不存在的点;讨论在每个区间的符号;(5)求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值.例4求函数的单调区间和极值.解函数的定义域为令,得驻点这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下极大值极小