微积分第4章中值定理与导数的应用

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1、第四章中值定理与导数的应用1第四章中值定理与导数的应用§4.1中值定理§4.2洛必达法则§4.3函数的增减性§4.4函数的极值§4.5最大值与最小值，极值的应用问题§4.6曲线的凹向与拐点§4.7函数图形的作法§4.8边际分析与弹性分析介绍三个定理——极限计算——函数性态的研究经济应用——第四章第1节2§4.1中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理第四章第1节3罗尔中值定理则①在闭区间[a,b]上连续;②在开区间(a,b)上可导;③f(a)=f(b).若f(x)满足：一、罗尔中值定理几何意义注：1.定理的条件：三个缺一不可.2.定理的应用：导函数零点(根)的存

2、在问题.1111-111例1例2第四章第1节4例1.验证f(x)x22x3在[-1,3]上满足罗尔定理条件，找出满足f()=0的.注意到f(x)(x1)(x3),在[-1,3]上显然连续;f(x)2x22(x1)在(-1,3)上显然可导；f(1)f(3)0存在1(1,3)使f(1)0解故f(x)满足罗尔定理的条件其中a1b3返回第四章第1节5例2不求导判断函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数有几个实根、及其所在范围解而f(x)是二次多项式仅有上述两个根f(1)f(2)f(3)0∴

3、f(x)在[1,2][2,3]上满足罗尔定理条件∵f(x)在R上连续、可导且根据罗尔定理，有：第四章第1节6拉格朗日中值定理则使得①在闭区间[a,b]上连续;②在开区间(a,b)上可导.若f(x)满足：二、拉格朗日中值定理几何意义注：2.拉格朗日公式的等价形式：拉格朗日公式1.拉氏定理是罗尔定理的推广.第四章第1节7证例3证明不等式arctanx2arctanx1x2x1(x1x2)设f(x)arctanxarctanx2arctanx1x2x1在[x1,x2]上应用拉格朗日定理，有第四章第1节8例4.证:即则f在[0,x]上满足拉格朗日定理的条件

4、.证明函数不等式的惯用手段！第四章第1节9推论2设f和g在区间I上可导，且,则在区间I上f(x)和g(x)只差一个常数，即是I上的常值函数.推论1设f(x)在区间I上可导，且,则f(x)例5.证明：证明函数恒等式的惯用手段！第四章第1节10柯西中值定理①在闭区间[a,b]上连续;②在开区间(a,b)上可导;若函数f和g满足：③g’(x)≠0,x∈(a,b).则使三、柯西中值定理几何意义注：几何意义：考虑参变量方程v=f(x)u=g(x)例6.设函数f在区间[a,b](a>0)上连续,在(a,b)上可导，则存在∈(a,b),使第四章第1节11拉格朗日中值定理柯西中值定理罗尔定理、拉

5、格朗日定理及柯西中值定理之间的关系；f()=0.罗尔定理问题：证明存在∈(a,b),使得H(a,b,)=0化为求根问题将a,b与分离，找匹配形式第四章第1节12与题设矛盾！例7.设p(x)是一个多项式,且方程p'(x)=0没有实根，证:则方程p(x)=0至多有一个实根，且这个根的重数为1.1)设p(x)有两个实根x1,x2，且x1

6、式三、其他不定式第四章第1节14则注：1.此法可推广到其他各类0/0型函数极限.①③②f和g在某Uo(x0)内都可导且；若（A也可以是∞,±∞）一、0/0型不定式极限2.此法可以与等价代换、换元法等方法结合使用.3.只要满足条件，可以反复、多次运用此法.洛必达法则第四章第1节15例1.计算下列0/0型不定式极限：第四章第1节16注：1.此法可推广到其他各类∞/∞型函数极限.二、∞/∞型不定式极限2.此法可与等价代换、换元法等方法结合使用.3.只要满足条件，可以反复、多次运用此法.则①③②f和g在某Uo(x0)内都可导且；若（A也可以是∞,±∞）洛必达法则第四章第1节17例2.计算下

7、列∞/∞型不定式极限：注：洛必达法则并非万能公式,应验证条件！第四章第1节18三、其他不定式①型：②型：③型：例4.求求例5.化为0/0型或∞/∞型整理成1/0-1/0,经通分化为0/0型④数列形式不定式：化为e0·∞型()改求函数极限求例6.第四章第1节19例7.解:(根据洛必达法则)①②(根据二阶导定义)第四章第1节20f(x)在I上单递调增推论设f(x)在区间I上可导，则(减).()证明函数不等式的惯用手段！证明函数不等式的惯用手段！f(x)在I上单调不减定理设