积分中值定理及其应用

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1、学号：*************师范大学学士学位论文题目积分中值定理及其应用学生&&&&指导教师******副教授年级2009级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院***师范大学2013年4月******师范大学学士学位论文开题报告论文题目积分中值定理及其应用学生姓名*****指导教师*****副教授年级2009级专业数学与应用数学2012年11月课题来源：自拟题目课题研究的目的和意义：在自然科学中、工程技术，甚至某些社会科学中，积分是被广泛应用的数学概念，积分贯穿了我们整个的学习时段.既然在数学

2、学习中处于核心地位，本文就积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用这几个方面来深入研究.在以后的学习生活中，积分都是非常重要的基础和工具，具有一定的理论意义和现实意义.国内外同类课题研究现状及发展趋势：许多专家学者对积分中值定理及其应用作了研究，并取得了一定的突破.对积分中值定理一系列讨论和证明是本文的核心点，本文通过一些定理来讨论积分中值定理的证明并加以综合运用.课题研究起止时间和进度安排：起止时间：2012年11月22日至2013年4月15日2012年11月22

3、日至2012年12月31日收集论文资料，确定论文题目2013年1月1日—2013年2月28日整理论文资料，完成初稿2013年3月1日—2013年3月31日教师指导，修改稿2013年4月1日-2013年4月15日打印论文，定稿课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：本文首先给出了求极限的重要性的介绍，引出本论文要研究的内容，正文采取例题与方法结合的叙述方式进行，介绍了多种不同问题的解题方法.在研究过程中大量阅读同类资料，并且综合运用通过网络技术进行总结.课题研究所需主要设备、仪器及药品：图

4、书资料计算机　外出调研主要单位，访问学者姓名：无指导教师审查意见：同意开题指导教师（签字）　　　　教研室（研究室）评审意见：同意开题　　教研室（研究室）主任（签字）　　　系（部）主任审查意见：同意开题（部）主任（签字）　　　　学士学位论文题目积分中值定理及其应用学生******指导教师******副教授年级2009级专业数学与应用数学专业系别数学系学院数学科学学院***师范大学2013年4月积分中值定理及其应用摘要:本论文主要内容是积分中值定理及其应用，主要从以下几个方面论述：积分中值定理、积分中值定理的

5、推广、积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用.关键词：积分中值定理；推广；应用一、引言随着科技时代的发展，数学也随之大步前进.其中，微积分的创立，为数学的发展奠定了不可磨灭的基础.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位，对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形.还讨论了在几何形体上二重

6、、三重积分的情形的积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学.我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进

7、性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来.二、积分中值定理的证明1、定积分中值定理引理：假设和分别为函数在区间上的最大值和最小值，则有成立.证明：因为和分别为函数在区间上的最大值和最小值，即，我们对不等式进行积分可得，由积分性质可知（1）成立，命题得证

8、.定理1（定积分中值定理）：如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一个点，使下式成立.证明：由于，将（1）同时除以可得.此式表明介于函数的最大值和最小值之间.由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间上至少存在一点，使得函数在点处的值与这个数相等，即应该有，成立，将上式两端乘以即可得到，命题得证.备注1：很显然，积分中值定理中公式（在与之间）不论或都是成立的.2、积分第一中值定理定理2（第一积分中值定理）：如果函数在闭区间上连