2015考研数学积分中值定理及其推广和应用分析

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1、2015考研数学：积分中值定理及其推广和应用分析来源：文都教育在考研数学中，积分中值定理是一个有用的分析证明工具，考试中经常会用到。积分中值定理有3种情形：基本的积分中值定理、推广的积分中值定理、两个函数相乘时的积分中值定理。一般高等数学教材上对第一种情形的积分中值定理都有介绍说明，但对后两种情形可能没有相应说明。为了使各位考生对积分中值定理有一个更深刻的理解和更灵活的运用，那么，老师对积分中值定理及其推广和应用分析做一个全面的分析介绍，供各位考生参考。基本的积分中值定理：设函数在上连续，则至少存在一点，使证明

2、：设在上的最大和最小值分别为，则，由连续函数的介值定理得，至少存在一点，使，即推广的积分中值定理：设函数在上连续，则至少存在一点，使证明：令，则，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使，即注：虽然由定理2知，存在，使，但这并不排除存在，使，即或的可能性。例如：，是常数，此时，对于任何，都有成立。3两个函数相乘时的积分中值定理：设函数和在上都连续，且不变号，则至少存在一点，使证明：不妨设，在上的最大和最小值分别为，则；若，则，此时对任何，都有；若，则，由连续函数的介值定理得，至少存在一点，使，即注：在情形3中，若

3、取，则得到定理1，由此可见，定理1只是定理3的一种特殊情况。典型例题例1.（2008年考研数学二第（20）题）（Ⅰ）证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得；（Ⅱ）若函数具有二阶导数，且满足，，则至少存在一点，使得．解析：（Ⅰ）的证明见上面定理1的证明.（II）的证明实际上就用到上面推广的积分中值定理：由定理2知，存在，使得．3由，利用微分中值定理，存在，使得，由，再利用微分中值定理，存在，使得，存在存在，使得．例2.（2010年考研数学三第（19）题）设函数在上连续，在内存在二阶导数，且，

4、（Ⅰ）证明：存在，使；（Ⅱ）证明：存在，使解析：（Ⅰ）的证明其实就是推广的积分中值定理：由上面定理2知，存在，使，故；（Ⅱ）的证明：由洛尔中值定理知，存在，使；由连续函数的介值定理知，存在，使，再由洛尔中值定理知，存在，使，进一步用洛尔中值定理知，存在，使.上面就是考研数学中关于积分中值定理及其推广的应用分析，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，老师还会陆续向考生们介绍考研数学中其它知识点和重要题型的分析，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩，成功实现自己的人生梦想。3