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1、略谈积分中值定理及其应用导读：就爱阅读网友为您分享以下“略谈积分中值定理及其应用”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!http://www.elecfans.com电子发烧友http://bbs.elecfans.com电子技术论坛略谈积分中值定理及其应用白永丽张建中(平顶山工业职业技术学院)积分中值定理是定积分的一个重要性质，它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质来研究积分的性质，有较高的理论价值和广泛的应用。本文就其在解题中的应用进行讨论。一、积分中值定理的内容：定理1（积分第
2、一中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ使得8⎰baf(x)dx=f(ξ)(b-a),a≤ξ≤b（1）定理2（推广的积分第一中值定理）若f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则在[a,b]至少存在一点ξ，使得⎰baf(x)g(x)dx=f(ξ)⎰g(x)dx,a≤ξ≤bab（2）证明：（推广的积分第一中值定理）不妨设在[a,b]上g(x)≥0则在[a,b]有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则有：m⎰
3、g(x)dx≤⎰f(x)g(x)dx≤M⎰g(x)dxaaabbb，从而对[a,b]上任何一点ξ，定理都成若⎰bag(x)dx=0，则由上式知⎰baf(x)g(x)dx=0立。若⎰bag(x)dx≠0b则由上式得：⎰m≤af(x)g(x)dx⎰b≤Mag(x)dx则在[a,b]上至少有一点ξ，使得⎰f(ξ)8=即：baf(x)g(x)dx⎰bag(x)dxba⎰baf(x)g(x)dx=f(ξ)⎰g(x)dx,a≤x≤b.显然，当g(x)≡1时，（2）式即为（1）式http://www.elecfans.com电子发烧友http:
4、//bbs.elecfans.com电子技术论坛二、积分中值定理的应用由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理，在应用积分中值定理时应注意以下几点：（1）在应用中要注意被积函数在区间[a,b]上连续这一条件，否则，结论不一定成立。π⎧-cosx,-≤x0⎪4f(x)=⎨,π⎪cosx,0≤x≤4显然f(x)在x=0处间断。⎩例如：由于⎰π4π-4f(x)dx=⎰πf(x)dx+⎰f(x)dx=⎰π(-cosx)dx+⎰cosxdx=0-4-4π0
5、π400π40ππππ4πf(x)dx=2f(ξ)[-,][-,]⎰-但在44上，f(x)≠0，所以，对任何44都不能使4.（2）定理中的g(x)在[a,b]上不变号这个条件也不能去掉.例如：令：πf(x)=sinx,g(x)=sinx,x∈[-π2,82],由于⎰π2π-2f(x)g(x)dx=π2π-2⎰π2π-2sin2xdx=,但⎰g(x)dx=⎰π2π-2sinxdx=0,ππππ22πf(x)g(x)dx=f(ξ)⎰πg(x)dx.ξ∈[-,]⎰-22，使-22所以，不存在定理中所指出的ξ并不一定是唯一的，也不一定必须
6、是[a,b]的内点。例如:令f(x)=1,x∈[a,b],则对∀ξ∈[a,b],都有：⎰baf(x)dx=f(ξ)(b-a),这也说明了ξ未必是区间[a,b]的内点。下面就其应用进行讨论。1、估计定积分的值例1、估计⎰1x191+x60的值解：由推广的积分第一中值定理：http://www.elecfans.com电子发烧友http://bbs.elecfans.com电子技术论坛⎰1x19+x60=13+ξ6⎰10x19dx=11203+ξ6，其中ξ∈[0,1]0≤ξ≤1,∴81即：12≤1+ξ6≤121≤111≤20+ξ620
7、x19+x6π20∴2≤⎰10≤1202、求含有定积分的极限例2、求lim⎰n→+∞π20sinnxdx解：若直接用中值定理lim⎰n→+∞nsinxdx=πnsinξ20≤ξ≤因为施：ππξ=n2而不能严格断定sinξ→0,。其症结在于没有排除2，故采取下列措π-ε20π2π-ε2lim⎰n→+∞π20sinxdx=⎰nsinxdx+nsinnxdx，其中ε为任意小的正数。对第一个积分使用推广的积分第一中值定理，有：lim⎰n→+∞π-ε20sinnxdx=lim(n→+∞πππ-ε)sinnξ=0,(0≤ξ≤-ε)222π2π
8、-ε2而第二个积分：π2π-ε2sinn≤π2π-ε2sinnxdx≤dx8=επ2π-ε2由于ε的任意性知其可任意小。∴lim⎰sinxdx=⎰nn→+∞π20π-ε20sinxdx+nsinnxdx=0注：求解此类问题的关键是使用积分中值定理去
