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1、黄石理工学院数理学院毕业设计（论文）第二讲微分与积分中值定理及其应用1微积分中值定理51.1微分中值定理51.2积分中值定理62微积分中值定理的应用174.1证明方程根（零点）的存在性174.2进行估值运算194.3证明函数的单调性204.4求极限214.5证明不等式22引言Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理统称为微分中值定理。微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。1微积分中值定理微分中值定理罗尔(R
2、olle)定理:若函数满足如下条件(ⅰ)在闭区间[a,b]上连续；(ⅱ)在开区间（a,b）内可导；(ⅲ),则在（a,b）内至少存在一点，使得．朗格朗日(Lagrange)中值定理:设函数满足如下条件：(ⅰ)在闭区间[a,b]上连续；(ⅱ)在开区间（a,b）上可导；则在（a,b）内至少存在一点，使得12黄石理工学院数理学院毕业设计（论文）．柯西中值定理:设函数和满足(ⅰ)在[a,b]上都连续；(ⅱ)在（a,b）内都可导；(ⅲ)和不同时为零；(ⅳ)，则存在，使得．微分中值定理的推广罗尔定理的推广定理1:设函数在（a,b）内可导，且有，则存在点，使得．证明：
3、首先对A为有限值进行论证：令则易知函数在[a,b]上连续，在（a,b）内可导且．由Rolle定理可知，在(a,b)内至少存在一点，使得，而在(a,b)内有，所以．其次对A=（）进行论证：由引理1，在（a,b）内能取得最小值（最大值）．不妨设：函数在处取得最小值（最大值）．此时函数在处也就取得极小值（极大值）．又因为在处可导，由Fermat引理，可得．综上所述，从而定理得证．定理2:设函数在(a,),内可导，且，证明：在（a,)中存在一点，使得．12黄石理工学院数理学院毕业设计（论文）定理3:设函数在（，b),内可导，且，证明：在（,b)中存在一点，使得
4、．定理4:设函数在（，),内可导，且，证明：在（,)中存在一点，使得．朗格朗日中值定理的推广定理5:如果函数满足条件：在开区间（a,b）上可导且存在，则在（a,b）内至少存在一点，使得．柯西中值定理的推广定理6:如果函数f(x)和F(x)满足条件：①都在有限区间(a,b)内可导；②③则在(a,b)内至少有一点，使得证明：作辅助函数A(x),B(x),并且令则A(x),B(x)在闭区间[a,b]上连续，开区间(a,b)内可导,且对由Cauchy中值定理可知，至少有一点使得又当时,12黄石理工学院数理学院毕业设计（论文）∴即：1.2积分中值定理积分中值定理
5、:若在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点使得.积分中值定理的推广推广的积分第一中值定理:若在闭区间上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得第一型曲线积分中值定理:若函数在光滑有界闭曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使。其中表示曲线的长。第二型曲线积分中值定理:若函数在有向光滑闭曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使其中为有向光滑曲线在轴上的投影，符号是由曲线的方向确定。第一型曲面积分中值定理:若为平面上的有界闭区域，是光滑曲面，函数在上连续，则曲面上至少存在一点，使得其中是曲面的面积。第二型曲面积分中值定理:若有光滑曲面：，，其中
6、是有界闭区域，函数在上连续，则在曲面上至少存在一点，使得其中是的投影的面积。3微积分中值定理的应用3.1证明方程根（零点）的存在性12黄石理工学院数理学院毕业设计（论文）例1：设函数和在闭区间[a,b]上连续，在（a,b）上可导，则在（a,b）内存在一点，使得．证明：令，则，又有，．易知在闭区间[a,b]上连续，在（a,b）上可导，故运用Lagrange中值定理可得，存在一点，使得，即，所以在（a,b）内存在一点，使得，故定理得证．例2:设函数和在闭区间[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且在闭区间[a,b]上，有意义，．则在（a,b）内存在一点，使
7、得．证明：令，，易知和在区间[a,b]上满足Cauchy中值定理条件，故有，,即，所以在（a,b）内存在一点，使得，故定理得证．例1：设为三个实数，证明：方程的根不超过三个.证明：令，则，，.用反证法，设原方程的根超过程3个，那么F(x)至少有4个零点，12黄石理工学院数理学院毕业设计（论文）不妨设为，那么有罗尔定理，存在,使，再用罗尔定理，存在,使,再用罗尔定理，存在,使,因为,所以,矛盾，所以命题得证.例2：设函数在上连续，且。证明：一个，使。证明：令，显然在上连续。可知在上满足零值定理。故一个，使。即例3：设实数满足关系式：。证明：在内至少有一个
8、实根。证明：令显然在上连续，在内可导，又，，故罗尔定理成立。于是，使，12黄石理工学院数理学院
