资源描述：
《Levi定理的新证明.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、首都师范大学学报(自然科学版)第22卷第1期JournalofCapitalNormalUniversityVol.22,No.12001年3月(NaturalScienceEdition)Mar.2001Levi定理的新证明周春来(中国社会科学院研究生院99博一班)摘要如果群是序群,则它的任意一非单位元都是无限阶的.在交换群的情况下,Levi给出了此定理的一个逆定理:如果群是交换群,且它的任意一非单位元都是无限阶的,则此群一定可成为序群.在Levi的证明中用到了关于交换群的基本定理.本文给出了不同于Levi的方法,只用选
2、择公理直接证明了这个定理.关键词:无限阶元,序群,Levi定理.中图分类号:O1531定理G是序群,a1,则a是无限阶的.Levi定理如果任一Abel群A的非零元是无穷阶的,则A可全序化.引理设G是Abel群,如果满足条件:x,yG,xy=1x=y=1,则有:x1,,xsG,x1xs=1x1==xs=1.nLevi定理证明设G是Abel群,(xG)(x1(n1)(x1)),则令M^={M:2MG&1M&MM&(x,yM)(xy=1x=y=1)}.{1}M^,作M^中的任
3、一链2M1M2Mi(iI),MiM^,作Mi=M,则MG,lM,MM,(x,yM)il2(xy=1x=y=1).由Zorn引理知:M^中有极大元M0,M0G,lM0,M0M0,x,yM0,xy=1x=y=1.n下证:x0M0,xG,x=x0xM0.对x记为11nnlm2x0,作M1=(x0)0,m0M0&l0,则M1有:1)lM1;2)M1M1;3)对于M1的任11nlnll+lnn两元之积(x)m0(x)1m1=1,则x01m0m1=1.x0=m0=m1=1因为A的非
4、零元都0011nlnl是无限阶的,所以有:(x0)m0=(x0)1m1=1;4)M1M0;5)M1M^.M1=M0,11nln-1n(x0)m0M1=M0,当m0=1,l=1,即有x0=xM0.同理可证得:x0M0,xG,x-1=x0xM0.-1-1下证:M0M0=G.M0M0G.收稿日期:2000-03-06第1期周春来:Levi定理的新证明27-1-1n若M0M0G,对xG,若有xM0M0,则作:M1={xm0n0&m0M0},则M1有:2nnn+n-11)1M1;2)M1M1;
5、3)对于M1任两元的乘积xm0x1m1=1x1=(m0m1)-1M0.-1-1如果n+n1>0,则xM0,与xM0矛盾.如果n+n1=0,m0m1=1,m0=m1=1,nn所以xm0=1=x1m1,M1=M0.当n=1,m0=1时,xM0.这与xM0相矛盾.G-1=M0M0.下面用这个M0使G成为一个有序群.-1-1x,yG,若xyM0,则定义yx.1)xG,xx=1M0,xx;2)x,-1-1-1-1-1yG,若xy,yx,即xyM0,yxM0,(xy)(yx)=1,xy=1,x=
6、y;3)-1-1-1-1-1x,y,zG,若xy,yz,即xyM0,yzM0,(xy)(yz)=xzM0,x-1-1-1-1-1-1z;4)x,yG,xyM0M0.如yxyM0,则有xy,如果xyM0,xy-1M0,则有yx.因此,G中的任两元可比较大小;5)x,yG,如果xy,即xyM0,-1-1zG,(xz)(yz)=xyM0,xzyz,证毕.致谢本文在导师杨安洲教授的细心指导下完成,在此表示衷心的感谢.参考文献1GarretBirkhorf.LatticeTheory,N
7、ewYork:AmericanMathematicalSociety.19482TheodoreW.Gamelin,RobertEveristGreene.IntroductiontoTopologynewYork:CBSCollegePublishingHouse,19833StanleyBurris,SankappanavarHP.ACourseinUniversalAlgebra.NewYork:Springer-Verlag,1981ANewProffofLeviTheoremZhouChunlai(Class99B1
8、GraduateSchoolofChineseAcademyofSocialSciences)AbstractWehavseenthatinanysimply-orderedgroup,everyelementexcepttheidentityha
