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《新裴蜀定理的加强证明1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、裴蜀定理的加强证明摘要：裴蜀定理是初等数论中一个非常重要的定理，即当n个整数满足时，存在无穷多组整数可以使得。这里的并没有特别的限制，是否可以给一些限制条件而使裴蜀定理依然成立呢？我们的研究结果表明当n个整数满足时，存在无穷多组整数可以使得和(i=1,3,…,n-2)同时成立。进一步我们发现，当n+k个整数满足时，存在无穷多组整数
2、可以使得和(i=1,…,n-1)和（j=1,…,k-1）同时满足。此外，我们的研究结果表明当n个整数满足时，存在无穷多组整数可以使得和同时满足，这里。总之，在该论文中，我们通过简洁而巧妙的证明，发现了一系列加强
3、的裴蜀定理，使得裴蜀定理更加丰富而有趣。9裴蜀定理的加强证明裴蜀定理是初等数论中一个非常重要的基本定理，在各级各类数学竞赛中出现了很多以其为背景的试题，因此，深入理解这个定理是十分必要的。我们首先来看看该定理的内容，设为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在无穷多组整数使得。特别来说，如果（不是两两互质）互质即，那么存在无穷多组整数使得。该定理的证明方法很多，证明也不困难，我们的想法是能不能对上述做一些限制，使该定理仍然成立。我们先从简单的n=2开始，若,则存在无穷多组整数使得，我们想这里的（x1，x2）能否具有整除的关系，即，若该条件
4、成立，必然得到，即x1=1或者-1，即x2a2=1a1，显然该方程未必有整数解，例如a1=5，a2=7。那么我们在来看看当n=3的情形，若,则存在无穷多组整数使得，我们想这里的能否具有整除的关系？假设，，若该条件成立，必然得到，即或者，即，显然该方程也未必有整数解，例如。所以该结论也不成立。那么当n=3时，是否存在无穷多组整数，其中两个数具有整除关系，例如，使得9成立。幸运的是，上述定理是成立的。我们先来证明一个引理1：，存在无穷多个整数k，使得证明1：若，易证存在无穷多个正整数k，使得，结论成立若,利用唯一分解定理将表示成如下（≥1,且
5、为质数）（≥1,且为质数）且易知，易证对任何整数k，都有，则且存在无穷多个整数k使得，则则成立证明2：将唯一分解定理表示（这里均为质数，且）1）假设，且,则无论k为何值，2）假设，且只需，可得3）假设，，只需即，由可知一定存在使得，即要求，由两两互质，根据中国剩余定理，下列同余方程组一定有无穷多组整数解9则成立利用上述引理我们证明下面的定理1定理1：若,则存在无穷多组整数，满足1）2）证明：由上述引理可知存在无穷多个整数k使得，由裴蜀定理可得存在无穷多组整数使得令，易知，上述定理1成立。进一步，我们猜想上述结论对所有n（n≥3）都成立吗？
6、，也就是下面的一个猜想：若,存在无穷多组整数，满足1）2）(i=1,2,…,n-2)为了证明此猜想，我们先证下面引理2引理2：，存在无穷多组整数，使得证明：由引理1可知当n=3假设n=k成立，下证n=k+1时成立9，设假设，令，则若，易知，由归纳假设可知存在无穷多组整数,满足，再令，则可得，即存在无穷多组整数，使得，易知，由中国剩余定理知满足上述条件的整数m1存在无穷多个。即n=k+1成立，由数学归纳法知当时，，存在无穷多组整数，使得由上述引理2，易证我们前面猜想的定理2成立，即定理2：若,存在无穷多组整数，满足1）2）(i=1,2,…,
7、n-2)证明：由引理2，可知存在无穷多组整数（x，y）使得成立令易知定理2成立在这里我们来看一个具体的例子，设n=4，（2,3,5,14）=1，易知9，所以（13,39,78,-39）是满足定理2的一组解。进一步，我们提出下面的一个猜想：，，若,存在无穷多组整数，满足1）2）(i=1,…,n-1)和（j=1,…,k-1）为了证明此猜想，我们先证下面引理3引理3：，存在无穷多组整数，使得证明：设，所以由引理2可得所以再由引理2可得由上述引理3，易证我们前面猜想的定理3成立，即定理3：，，若,存在无穷多组整数，满足1）2）(i=1,…,n-1
8、)和（j=1,…,k-1）证明：由引理3，可知存在无穷多组整数使得成立，令易知定理3成立9下面我们证明有意思的定理4定理4：，若,存在无穷多组整数，满足1）2），证明：令令，，（为不同于的质数，）令，所以，由裴蜀定理可知存在使所以令所以我们还可以将定理2进一步加强为定理5定理5：若,存在无穷多组整数，满足1）2）(i=1,2,…,n-2)3）(i=2,…,n-1)证明：设令，（为不同于的质数，）所以9由定理2可得存在无穷多组整数，满足1），2）(i=1,2,…,n-2)由1）可得令，所以存在无穷多组整数，满足1）2）(i=1,2,…,n-
9、2)3）(i=2,…,n-1)经过不断的探索和证明，我们得到了一系列很有趣的定理1-5和非常重要的引理1-3，最终我们证明了一系列比裴蜀定理更强的定理，就我们所知尚未看见类似的结论，由此可以看
