Toeplitz-Hausdorff定理的新证明-论文.pdf

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1、第26卷第3,gVo1．26，No．32014年6月Jun．2014文章编号：2095—5456(2014)03—0248—02Toeplitz．Hausdorff定理的新证明张云，陈冬君，叶永升(淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北235000)摘要：利用集合的道路连通性，给出了数值域的Toeplitz-Hausdorff定理的简洁的证明．关键词：道路连通；凸集；连续函数Toeplitz-Hausdorff定理中图分类号：O151．2文献标志码：A数值域是矩阵理论和算子理论中一个基本的首先列举数值域的一些基本且有用的性质．研究对

2、象．它在量子信息论、模式识别等许多领域设A是阶复方阵，则都有着广泛的应用[1]．目前，关于数值域方面的(1)w(+)一+w(A)(a，pEC)；文献非常丰富，同时也有一些关于数值域方面的(2)W(T)==={lEV(T)}；专著，见文献[-6-1．下面首先给出数值域的定义．(3)W(UAU)===W(A)，其中，u为任意的酉设A是咒阶复方阵，矩阵A的数值域定义为矩阵．集合Toeplitz．Hausdorf定理设A是，z阶复方W(A)一{Axlllll一1，EC}．阵，则它的数值域w(A)是凸集．式中，C”为维欧氏空间，llll表

3、示的欧氏证明考虑A的笛卡儿分解：A—G4-iH．范数．不难看出，任何方阵的数值域都是复数集的式中，G一垒，H—A_都是Hermite一个有界子集．同时，矩阵的谱都含在其数值域之矩阵．中．数值域最基本的性质是它是凸集，即著名的记单位球Toeplitz-Hausdorff定理．关于这条性质的证明，S一{Ecjlll}一1)，已引起很多数学家的兴趣，比如，Halmos就给出令(z)一zGz，(z)一zHz，z∈S，将C等同于了漂亮的证明．绝大多数的证明方法是通过转化R，于是为2×2阶的复矩阵来考虑．在这种特殊情形下，W(A)一{((z

4、)，(z)){zES}．证明二阶方阵的数值域是一个椭圆盘，即如下著由于G是Hermite矩阵，则由谱分解定理知，存名的椭圆定理．在一个酉矩阵U，使得C．K．L』给出了椭圆定理漂亮的新证明，参U一diag(~l，⋯，)．见文献1-73．式中，一，是G的特征值．因此，对于给定的椭圆定理设A是2阶方阵且它的两个特zo一(zl，⋯，)。r∈S，有征值为，，则它的数值域是以，Az为焦点，~tr(AA)一ll一{1]专为短轴的椭圆盘．声(z。)一∑z—ll。．本文利用类似于Moyls和Marcus在文献从而，只需证明对于给定的z。ES，E8

5、3中的想法，给出了Toeplitz-Hausdorff定理一(((zo)))在平面R。上连通即可．种直接且简单的证明．由于(z)是实值连续函数，因此，只需证收稿日期：2013—12—23基金项目：安徽省教育厅质量工程资助项目(2012gxk058)．作者简介：张云(1982一)，男，江苏镇江人，淮北师范大学讲师，博士．第3期张云等：Toeplitz-Hausdorff定理的新证明249叫(9l())在单位球S上连通即可．事实上因此，()在集合((z。))中存在一条从lxl一((z0))一{h一(矗1，⋯，hn)E到fYf的路．综

6、上所述，((z。))是道路连通的．由于HsI∑『一(z。)}．是Hermite矩阵，从而(z)是实值连续函数．根‘i一1据连续函数的性质知，连续函数把连通集映成连对于任意给定的x，Y∈_1((z。))，下面证通集，从而5f『(1((z。)))是R上的区间．注意到明在集合((z。))中存在一条从x到y的路．在R中集合的旋转和平移不改变自身的凸性，将证明分为三步：在集合((z。))中存在一条因此，每一条与W(A)相交的直线，它们的交集都从x到Jxf的路；在集合≠((z。))中也存在一是区间．故W(A)是凸集．条从Y到1yl的路；在集

7、合((z。))中也存在一条从Ixl到IYl的路．参考文献：设一(z1，⋯，z)r一(1x1le1，⋯，lzI×EliAndoT，LiCK．TheNumericalRangeandNumericale)，定义II一(1zl，⋯，lx1)，贝0RadiusfJ]．LinearandMultilinearAlgebra，1994，37(1／2／fxfE((z。))．3)：221—223．令[2]DonoghueWF．OntheNumericalRangeofaBoundedOperator[J]．TheMichiganMathemat

8、ica1Journa1，1957，4(￡)一(JzlJei(1-t)01，⋯，Jjei(1-t)On)，(3)：261—263．式中，O≤￡≤1．容易验证[3]HalmosPR．AHilbertSpaceProblemBook[M]．(O)一x，(1)一ll，P