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1、有心圆锥曲线准线的几何作图王芝平（北京宏志中学100013）本文发表于《中学数学教学参考》2004年第4期，P30鉴于圆锥曲线的准线在研究圆锥曲线有关问题中的重要作用，本文在文[1]、[2]的基础上，再介有心绍圆锥曲线准线几何作图的若干方法，供参考.1利用射影定理作图利用直角三角形中的射影定理，可得椭圆1(＞＞0)、双曲线1(＞0，＞0)准线几何作图的统一的作法.1.1椭圆准线的作图作法以原点为圆心,以为半径作圆,交轴于点E,连接EF（F是椭圆的左焦点），作直线EH⊥EF交轴于点H，则过点H且垂直于轴的直线L即
2、为椭圆的右准线（如图1）.图1证明因为
3、OF
4、＝c，
5、OE
6、＝，在Rt△FEH中，由射影定理得，
7、OE
8、2＝
9、OF
10、·
11、OH
12、，所以
13、OH
14、＝.故，直线L为椭圆的右准线.1.2双曲线准线的作图作法以原点为圆心,以为半径作圆,交轴于点E,连接EF（F是双曲线的左焦点），作EH⊥EF交轴于点H，则过点H且垂直于轴的直线L即为双曲线的右准线（如图2）.证明同上,略.图22利用相似三角形作图2.1 椭圆准线的作图作法过椭圆的右焦点F作ST⊥轴交椭圆1(＞＞0)于S、T,A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，连接A1S、A2
15、T交于点M，则过M垂直于轴的直线即为椭圆的(右)准线(如图3).图3证明由作法知，，设H(，0),则，所以0＝.故，直线MH为椭圆的右准线.2.2 双曲线准线的作图作法过双曲线的右焦点F作ST⊥轴，交双曲线1(＞0,＞0)于S、T,A1、A2分别是双曲线的左、右顶点，连接A1S、A2T交于点M，则过M垂直于轴的直线即为双曲线的(右)准线(如图4).图4证明由作法知，，设H(，0),则第4页共4页,所以0＝.故，直线MH为双曲线的右准线.3．利用三角形角分线性质作图3.1 椭圆准线的作图作法1设F1、F是椭圆的左
16、、右焦点，作FT⊥轴，交椭圆于T，图5作△F1TF的∠F1TF外角平分线TH，交轴于H，则过H且垂直于轴的直线即为椭圆的（右）准线（如图5）.证明由作法和三角形外角平分线性质知，＝，所以，设H（，0），又
17、TF
18、＝，所以，即＝.故，过H且垂直于轴的直线为椭圆的(右)准线.图6作法2设椭圆的右顶点、上顶点分别为A、B，F是椭圆的右焦点，连接BF并延长交椭圆于P点，作△ABF的外角∠AFP的平分线，交BA的延长线于M点，作MH⊥轴于H，则直线MH即为椭圆的（右）准线（如图6）.证明作BN⊥MH于N点，因为FM平分△
19、ABF的外角∠AFP，则，又，所以，设H（，0），所以，即＝.故，直线MH为椭圆的（右）准线.3.２ 双曲线准线的作图作法1设F1、F是双曲线的左、右焦点，作FT⊥轴，交双曲线于T，连接F1T,作△F1TF的∠F1TF的平分线TH，交轴于H，则过H且垂直于轴的直线即为椭圆的（右）准线（如图7）.图7证明由作法和三角形角平分线性知，＝，所以，设H（，0），又
20、TF
21、＝，所以，即＝.故,过H且垂直于轴的直线即为双曲线的(右)准线.作法2设双曲线的右顶点、虚轴的上端点分别为A、B2，F是双曲线的右焦点，作B2B⊥轴，
22、交双曲线的右支于B点，连接BF并延长交双曲线于P点，作△ABF的外角∠AFP的平分线，交BA图8的延长线于M点，作MH⊥轴于H，则直线MH即为双曲线的（右）准线（如图8）.证明设B2B与MH交于N点，因为FM是△ABF的外角∠AFP平分线，则，又，所以，又因为B点的纵坐标为,所以B点的横坐标为＝,所以
23、BF
24、＝.设H点的坐标为（，0），所以，即＝.故,直线MH为双曲线的(右)准线.第4页共4页4利用圆锥曲线切线作图本作法以如下熟知的命题为基础.命题1设T是椭圆1(＞＞0)(双曲线1(＞0，＞0)上一点(非顶点)
25、,F1、F是曲线的两焦点，TK是∠F1TF的角平分线的垂线(∠F1TF的角平分线),则TK是椭圆(双曲线)在T点处的切线.命题2椭圆1(＞＞0)及双曲线1(＞0，＞0)在点T(,)处的切线方程分别是＝1和＝1.4.1 椭圆准线的作图作法设T(,)(非顶点)是椭圆1(＞＞0)上一点,作∠F1TF平分线的垂线TK,作FM⊥TK,交直线OT于M,图9作MH⊥轴于H,则直线MH即为椭圆的(右)准线(如图9).证明由命题1知,TK是椭圆在点T处的切线,由命题2知,TK的方程为＝1,其斜率为,所以直线FM的方程为(),①又
26、直线OT的方程为,②由①、②消去、得()，即＝.故直线MH是椭圆的(右)准线.4.2双曲线准线的作图作法设T(非顶点)是双曲线1(＞0,＞0)上一点,作∠F1TF的角平分线TK,作FM⊥TK,交直线OT于M,作MH⊥轴于H,则直线MH即为双曲线的(右)准线(如图10).图10证明同上，略.5利用圆锥曲线其它性质作图5.1 椭圆准线的作图作法设B2、B1是椭圆的上、下顶点，F是右焦点，连
