[轨迹及作图]2几何作图

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1、[轨迹与作图]2几何作图一、几何作图的意义、要求及作图公法　　“几何作图”指的是只限用圆规和不带刻度的直尺，根据给定的所需图形的条件，完成所需图形之意．从欧几里得的《原本》开始，在初等平面几何书中，都含有一定数量的几何作图问题．其用意从理论上说，几何作图题是存在定理的变形．如在初中几何课本中，“过直线外一点作这直线的平行线”就是变相的平行线存在定理，“作三角形的外接圆”就是变相的三角形外接圆的存在定理等等．当然，作图题如“无解”，就说明所需图形不存在；但若“不能解”，则不能说明所需图形不存在．　　根据“几何作图”的意义，关于它的解法的叙述，要求包含有：　　1．作法按照作图的步骤，顺次

2、把它写出．　　2．证明从理论上论述上法作出的图形符合要求．　　3．讨论根据给定元素的不同关系，指明解的有无和解有多少．　　和定理论证中每一结论必须明确其理论根据一样，在解作图题的“作法”中每一图形的完成都必须明确此图形的作法依据．作为论证定理的理论根据，最终以明确至某公理为止，则作为解作图题的“作法”依据，最终便以明确至“作图公法”为止．　　如在叙述作线段AB的垂直平分线CD(图4－14)的作法中，不得只言“作与点A和B等距离的两点C和D；连结C、D，……”必须指明“分别以点A和B为圆心，以同样半径作两圆弧，设两弧交于点C和D，连结C、D，……”．但如何“以一点为圆心、定长为半径作圆

3、”，如何“连结两点成直线”，便不再进一步说明，因为这些都是作图公法了．　　几何作图的公法是：　　1．过两定点作直线；　　2．在一直线上或直线外取点；　　3．在一线段上或延长线上取点；　　4．两直线的交点；　　5．以任一点为圆心，任意长为半径作圆；　　6．一直线与一圆的交点；　　7．两圆的交点．　　在任何一部数学书中，论证某一定理时，作为某一步结论的理论根据如果是此前已证过的定理，可以只指明这个定理而无须再追溯到公理．同样，在叙述解作图题的“作法”中，某一步的图形的完成已是此前的“作图题”，则只引至此无须追溯到公法．如叙述“过直线AB外的点P，作AB的平行线(图4－15)”的作法中有“

4、以P为顶点，射线PQ为一边，作∠QPE=∠PCB”一步．此时便不必再叙述作∠QPE=∠PCB的方法了．因在此前已有作等角的几何作图题了．　　二、解几何作图问题的轨迹法　　求得几何作图问题具体“作法”，和求得定理证明关键在于寻求论证思路一样，首先在于寻求未知作法与已有的几何作图问题的作法的联系，综合有关的已有作法成为所求的未知作法，使之成为已知．这就是通常所说求得“作法”的“分析”过程．和论证定理不要求写出关键性的论证思路一样，在几何作图的“解”中，也不要求写出“分析”，但在求得“作法”的关键在于“分析”过程，可以说这是解几何作图问题的过程中不可缺少的手段．　　作为解几何作图问题的“分

5、析”方法，带有根本性的方法之一，是“轨迹交截法”(简称“交轨法”)．由于问题能否解得，常常归结为某一点的位置的确定，而在初等几何中，点的位置的确定，无非是有赖于两直线的相交，一直线与一圆的相交或两圆的相交．因而问题便归结为满足所求点的两种性质的两直线或一直线与一圆或两圆的求得的问题了，这就是交轨法．下面举几个解几何作图问题的交轨法的例子，用以说明交轨法的用法和解几何作图问题的要求．　　例1以定线段为一边，求作一个三角形，使这边上的高和中线分别等于两条给定的线段．　　已知：线段BC、h、m．　　求作：一三角形，使其一边为线段BC，BC边上的高和中线分别等于h和m．　　分析设△ABC即所

6、求(图4－16)，则△ABC能作出的关键就在求点A的位置．　　作AD⊥BC于D点，则AD应等于h．因而点A的轨迹之一即平面上与直线BC的距离等于h的点的轨迹(两条平行线)．　　取BC的中点M，连结A、M，则AM应等于m．因而点A的另一轨迹即平面上与点M的距离等于m的点的轨迹(圆)．　　因此，点A应为这两种轨迹的公共点．　　作法　　(1)分别在直线BC的两侧作直线l1∥BC、l2∥BC，且使l1、l2与BC间的距离等于h；　　(2)取线段BC的中点M，以M为圆心、m为半径作⊙M，假设与l1和l2分别交于A、A＇，A1、A1＇点；　　(3)连结A、B，A、C，　　则△ABC即为所求的三角

7、形．　　证明　　作AD⊥BC于D点，由作法(1)知，AD＝h．即△ABC的BC边上的高等于h。　　连结A、M．由作法(2)知，AM=m．即△ABC的BC边上的中线等于m．　　由作法(3)知，△ABC的BC边即已知的线段BC．　　因此△ABC确为所求的三角形．　　讨论　　当m＞h时，本题有4解(△ABC、△A＇BC、△A1BC、△A1＇BC)　　当m=h时，本题有2解(A＇与A重合，A1＇与A1重合)．　　当m＜h时，本题无解．　　例2以定线段为一边，求作一