有心曲线类准线的几个优美性质.doc

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1、有心曲线类准线的几个优美性质南京市金陵中学宋辉210005众所周知：准线是圆锥曲线非常重要的性质，有许多优美结论.若规定：x＝±是椭圆＋＝1(a>b>0，a>m>0)的类准线；x＝±是双曲线－＝1(a>0，b>0，m>a)的类准线.本文研究有心曲线的类准线的几个优美性质，现将结果与读者分享.定理1设P点是椭圆＋＝1(a>b>0，a>m>0)的类准线x＝上的任意一点，MN是过定点Q（m，0）的椭圆的一条动弦，则直线PM、PQ、PN的斜率成等差数列.证明设M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），P（，t）.2kPQ＝2＝.而kPM＋kPN＝＋＝（＋）＝（）（※）（※）式

2、的分子bsin（α＋β）－（sina＋sinβ）－t（cosa＋cosβ）＋＝2bsin（cos－cos）－t（cosa＋cosβ）＋.由M、N、Q三点共线，得＝，化简得asin(α－β)＝m(sinα－sinβ)，即cos＝cos①，将①代入（※）式的分子化简，则（※）式的分子bsin（α＋β）－（sina＋sinβ）－t（cosa＋cosβ）＋＝－t（cosa＋cosβ）＋＝－2tcoscos＋＝（1－cos2）.（※）式的分母cosacosβ－（cosa＋cosβ）＋5＝（2cos2＋2cos2－2）－2coscos＋＝cos2＋cos2－1－2cos2＋＝（－1）（1－cos2

3、）.故kPM＋kPN＝（＋）＝（）＝＝2kPQ.即直线PM、PQ、PN的斜率成等差数列.推论1设P点是椭圆＋＝1(a>b>0，a>m>0)的类准线x＝与x轴的交点，MN是过定点Q（m，0）的椭圆的一条动弦，则PQ平分∠MPN.证明要证PQ平分∠MPN，只要证kPM＋kPN＝0.当P点的坐标为（，0）时，kPQ＝＝0.由于kPM＋kPN＝2kPQ＝0，即PQ平分∠MPN.定理2设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0，m>a)的类准线x＝上的任意一点，MN是过定点Q（m，0）的双曲线的一条动弦，则直线PM、PQ、PN的斜率成等差数列.证明设M（asecα，btanα），N（asecβ，bta

4、nβ），P（，t）.2kPQ＝2＝.而kPM＋kPN＝＋＝（＋）＝()（★）（★）式的分子b（tanαsecβ＋tanβsecα）－（tanα＋tanβ）－t（secα＋secβ）＋＝b－－t（secα＋secβ）＋＝（cos－cos）－t（secα＋secβ）＋.由M、N、Q三点共线，得＝，a（tanαsecβ－tanβsecα）＝m（tanα－tanβ），5化简得msin(α－β)＝a(sinα－sinβ)，cos＝cos①，将①代入（★）式的分子化简故（★）式的分子b（tanαsecβ＋tanβsecα）－（tanα＋tanβ）－t（secα＋secβ）＋＝－t（secα＋sec

5、β）＋＝＝＝＝.（★）式的分母secαsecβ－（secα＋secβ）＋＝＝＝＝.故kPM＋kPN＝[]＝＝2kPQ.即直线PM、PQ、PN的斜率成等差数列.推论2设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0，m>a)的类准线x＝与x轴的交点，MN是过定点Q（m，0）的双曲线的一条动弦，则PQ平分∠MPN.证明略定理3设P是椭圆＋＝1(a>b>0，a>m>0)的类准线x＝上的任意一点，过P点作椭圆的两条切线，切点分别为M、N，则MN连线过定点Q（m，0）.证明设切点M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），P（，t）.则过M、N两点的椭圆的切线方程分别为＋＝1、＋＝1.由两切

6、线均过P点得＋＝1①＋＝1②①×sinβ－②×sinα化简得asin(α－β)＝m（sinα－sinβ），要证MN连线过定点Q（m，0），只要证＝，化简得asin(α－β)＝m(sinα－sinβ)，故MN连线过定点Q（m，0）.5定理4设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0，m>a)的类准线x＝上的任意一点，过P点作双曲线的两条切线，切点分别为M、N，则MN连线过定点Q（m，0）.证明设切点M（asecα,btanα），N（asecβ,btanβ），P（，t）.则过M、N两点的双曲线切线方程分别为：－＝1、－＝1.由两切线均过P点得－＝1①－＝1②①×tanβ－②×tanα化简得a（t

7、anαsecβ－tanβsecα）＝m（tanα－tanβ），要证MN连线过定点Q（m，0），只要证＝.化简得a（tanαsecβ－tanβsecα）＝m（tanα－tanβ），故MN连线过定点Q（m，0）.定理5设P点是椭圆＋＝1(a>b>0，a>m>0)的类准线x＝上的任意一点，A1A2是椭圆的长轴，若直线PA1、PA2与椭圆分别相交于点M、N，则MN连线过定点Q（m，0）.证明设M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），