有心圆锥曲线切线一个性质﹡.doc

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1、有心圆锥曲线切线的一个性质﹡江西省都昌县第一中学(332600)袁新华笔者在利用几何画板研究有心圆锥曲线的切线时发现一个简洁有趣的性质，现介绍如下：命题1自圆：上任一点P向椭圆：引两条切线，则这两条切线互相垂直。证明设P点的坐标为，自这一点向椭圆C2引的两切线分别为和。（1）当切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线方程为，由得：，因为，所以，………………………………（）设切线和的斜率分别为，则是（）式方程的两实根，所以，又点P在圆：上，所以，所以，所以，所以切线和互相垂直。（2）当其中有一条切线的斜率不存在时，则，直线和

2、显然垂直。综上（1）和（2），命题1得证。命题2若直线和是椭圆C：的任意两条互相垂直的切线，则其交点的轨迹是一定圆。证明（1）若直线和的斜率都存在且不为0，设其斜率分别为和，则，设直线和交于点，过点P的直线方程为：，由得：，若直线与椭圆C相切，则，所以，………………………………（）由直线和都和椭圆C相切知和是（）式方程的两实根，则＝－1，即，所以，由切线的任意性知：点P的轨迹是定圆。（2）若直线和中有一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率不存在，则直线直线的斜率为0，所以直线的方程为，直线的方程为，从而点P的坐标为，所以

3、点P也在定圆上。综上（1）和（2），命题2得证。类似地可以得到（证明从略，读者可自证）：命题3自圆：上任一点P向双曲线：引两条切线，则这两条切线互相垂直。命题4若直线和是双曲线C：的任意两条互相垂直的切﹡注：本文系江西省中小学、幼儿园教育信息技术研究2012年规划课题的子课题：信息技术环境下的高中数学新课程有效教学策略与方法的研究（课题编号：GDK-2012-G-83637）的一个成果。线，则其交点的轨迹是一定圆。