有关圆锥曲线切线一个性质

《有关圆锥曲线切线一个性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、关于圆锥曲线的切线的一个性质————一道高考题的思考湖北房县第二中学任传奎442100在教学过程中，我们常常在大脑中会“闪现”一些与课堂内容相关的“奇怪”感觉，这些感觉可能是与其它知识有联系的，也有可能是所授知识的“衍生”或拓展，而其中的一部分很有可能对学生的知识理解和拓展会有一定的影响，同时，学生在参与课堂学习时同样有与教师类似的一些想法，我们在实施教学时是否可以适时引导、激励学生去思考，去探究呢？我认为很有必要。我们先看一道高考题：(2012·福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0

2、)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．解：(1)依题意，

3、OB

4、＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝

5、OB

6、sin30°＝4，y＝

7、OB

8、cos30°＝12.因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.(2)证明：由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得所以Q为.设M(0，y1)，

9、令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于＝(x0，y0－y1)，＝，由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，所以解得y1＝1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．探究：由以上的解题过程可知，直线是抛物线的准线，M(0,1)是抛物线的焦点，因此我们可以猜想下面的命题1：命题1点M为抛物线上的一点，过点M与抛物线相切的直线交抛物线的准线与点N，则以MN为直径的圆过焦点F。证明：设切线方程为，联立消去得：，由得

10、∴，=∴又∵，∴=∴于是==0∴，∴以MN为直径的圆过焦点F。∴猜想成立进一步探究：我们可以进一步猜想下面的命题2，命题3：命题2点M是椭圆上的一点，过点M的切线交右准线于点N，则以MN为直径的圆过椭圆的右焦点F。证明：设切线方程为，联立：消去得：由=得：∴，∴又，，∴，于是∴，∴以MN为直径的圆过椭圆的右焦点F。命题3点M是双曲线上的一点，过点M的切线交右准线于点N，则以MN为直径的圆过双曲线的右焦点F。证明：设切线方程为，联立：消去得：，由=得：∴，，∴又∴于是∴∴，∴以MN为直径的圆过双曲线的右焦点F。综合命题1、命题2、命题3得

11、：过圆锥曲线上的一点M的切线交准线于点N，则以MN为直径的圆过相应的焦点。我们所面对的学生从启蒙开始在大脑都会时不时地会出现“奇思妙想”，只不过我们无法及时发现和灵活应用，从而忽略或抑制了学生的创新与想象，违背了“以问题和问题的解决为中心”的理念，挫伤了学生的积极性，失去了培养学生创新性解决问题的机会。因此教师首先应该具有“发现——探究——再发现——再探究”的意识。2013年11月20日