圆锥曲线的一个性质.doc

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1、圆锥曲线的一个性质王文彬(江西省抚州市第一中学344000)笔者在编拟试题时，发现圆锥曲线有如下的性质：ABCPDxyO定理1已知椭圆，是坐标平面上不在椭圆上的一点.当时，以为斜率作一直线(不过点)交椭圆于两个相异点，连交椭圆于另一点，连交椭圆于另一点，则；当时，任作一垂直于轴的直线(不过点)交椭圆于两个相异点，连交椭圆于另一点，连交椭圆于另一点，则.证明当时，设直线，即.再设，则由于点在椭圆上，故又点既在直线上，又在椭圆上，故上式可化为因点与不重合，故，上式约去后得①由于点在直线上，故，①式右端又由于点不在椭圆上，故.设，同理有

2、②①-②得，从而有.当时，结论显然成立.定理2已知双曲线，是坐标平面上不在双曲线上的一点.当时，以为斜率作一直线(不过点)交双曲线于两个相异点，连交双曲线于另一点，连交双曲线于另一点，则；当时，任作一垂直于轴的直线(不过点)交双曲线于两个相异点，连交双曲线于另一点，连交双曲线于另一点，则.证明方法与定理1类似，从略.定理3已知抛物线，是坐标平面上不在抛物线上的一点.当时，以为斜率作一直线(不过点)交抛物线于两个相异点，连交抛物线于另一点，连交抛物线于另一点，则；当时，任作一垂直于轴的直线(不过点)交抛物线于两个相异点，连交抛物线于

3、另一点，连交抛物线于另一点，则.证明当时，设直线，ABCPDxyO即.设，则由于点与在抛物线上，故，约去后得③③式右端再设，同理有④③-④得.由于，故，从而有.当时，结论显然成立.在定理1中，若点在椭圆内(即含焦点的区域)，则过点的中点弦斜率恰为.在定理2和定理3中，斜率和也都与它们各自的中点弦斜率公式在“外形上”是一致的.