圆锥曲线的一个重要性质.docx

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1、精品资源圆锥曲线中的一个重要性质圆锥曲线作为代数与几何的结合体，在近些年的高考中也屡见不鲜，是检验和考查学生各种知识能力的常用载体。圆锥曲线中的三大曲线在许多性质方面有相似之处，本人要研究的问题，也验证了这一观点，揭示了三大曲线间的内在联系。就是两动点在一定的各自条件下变动，求与其相关几何量的动态最值问题。探求思路，深层分析，发现规律，进一步完善圆锥曲线中的知识结构，以不变应万变。一•性质的引出在2004年浙江省高中会考第33道：平面内有一动点P到两定点A(-J5,0),B(j5,0)的距离之和为6,设动点P的轨迹为E1)求轨迹E的方程。2)在轨迹E上是否存在点P(

2、x,y)到点Q(m,0)(0b>0)中，点P为椭圆上

3、的动点，点Q(m,0)在x轴正半b2轴上移动，试求PQ的最小值和此时点P的坐标规律。分析：此类问题点P在椭圆上，点Q在x轴上，两个点都是动点。我们可以用椭圆参数方程来减少坐标字母。令P(acosB,bsin8),点Q(m,0)(0

4、cc2c把PQ看成cos8的二次函数，则它的对称轴为卜面进行讨论:欢下载精品资源2,am-c故当cos?am-2c时，函数取到最小值。PQmin=b,此时点P的横坐标为:2aacos=—2c当0W1,即0MmW—时，二次函数的对称轴在函数的定义域内,ca欢下载精品资源(由于当amm2c2-c>1,即m>—时，对称轴在函数的定义域外，靠近1,故当aCOSF=1时，函数取到最小值。PQ22222min=Jc-2am+m+b=4a—2am+m=a-m。此时点P的横坐ce=)a欢下载精品资源欢下载精品资源标为acosi2c综上所述，点Q(m,0)在x轴正半轴移动时，临界值

5、为J=eca欢下载精品资源欢下载精品资源当0:二mMec时，PQm2min=bJ1-—r,此时点P的横坐标为cm~2.e当m〉ec时，PQmin=a-m,此时点P的横坐标为a.欢下载精品资源欢下载精品资源2问题二：在双曲线X2aQ(m,0)在x轴既然在椭圆中有这个性质，那么在双曲线，抛物线中是否也有类似的呢?2y9=1中(a>0,b>0),点P为曲线上的动点，点b2欢下载精品资源欢下载精品资源正半轴上移动，试求PQ的最小值和此时点P的坐标规律。分析：令P(asec8,btan8),点Q(m,0),(m>0)PQ2=(asec8-m)2+(btanH)2二a2sec2

6、1-2amsec【m2b2(sec21-1)二(a2b2)sec二-2amsec-m2-b2在双曲线中c2=a2-b2,通过配方有PQ2:c2(secB-am222m)b(--1)c欢下载精品资源sec0=am(由于sec9之1)c2八把PQ看成sec9的二次函数，则它的对称轴为2c分类讨论与椭圆中的类似，结果为：点Q(m,0)在x轴正半轴移动时，临界值为一=ec,欢下载精品资源当0ec时，PQmin=bjm]—1,此时点P的横坐标为工2Vce问题三：在抛物线y2=2px中(p>0),点P为曲线上的动点

7、，点Q(m,0)在x轴正半轴上移动，试求PQ的最小值和此时点P的坐标规律。2分析：令P(Xi，y[),点Q(m,0),(m>0),则y1=2pxI，Xi>0,—_222PQ=3—m)2+(%)2222二(Xi-(m-p))m-(m-p)22二(Xi-(m-p))2mp-p它的对称轴为x1=m-p,当m-pW0时，即00时，即map,对称轴在函数的定义域内，当xi=m_p时PQmin=《2mp-p2现把这三种曲线的这种性质用一个表来说明：注：点P在曲线上，点Q在x正半轴上，P(x,y),Q(m