圆锥曲线中的一个重要性质

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1、圆锥曲线中的一个重要性质永康市古山中学陈红晓321307圆锥曲线作为代数与几何的结合体，在近些年的高考中也屡见不鲜，是检验和考查学生各种知识能力的常用载体。圆锥曲线中的三大曲线在许多性质方面有相似之处，本人要研究的问题，也验证了这一观点，揭示了三大曲线间的内在联系。就是两动点在一定的各自条件下变动，求与其相关几何量的动态最值问题。探求思路，深层分析，发现规律，进一步完善圆锥曲线中的知识结构，以不变应万变。一．性质的引出在2004年浙江省高中证书会考第33道：平面内有一动点P到两定点，的距离之和为6，设动点P的轨迹为E1）求轨迹E的方程。2）在轨迹E上是

2、否存在点P（x,y）到点Q（m,0）(0b>0）中，点P为椭圆上

3、的动点，点Q（m,0）在x轴正半轴上移动，试求的最小值和此时点P的坐标规律。分析：此类问题点P在椭圆上，点Q在x轴上，两个点都是动点。我们可以用椭圆参数方程来减少坐标字母。令,点Q（m,0）（0

4、点P的横坐标为a.既然在椭圆中有这个性质，那么在双曲线，抛物线中是否也有类似的呢？问题二：在双曲线中（a>0,b>0），点P为曲线上的动点，点Q（m,0）在x轴正半轴上移动，试求的最小值和此时点P的坐标规律。分析：令,点Q（m,0）,（m>0）,则P在双曲线中,通过配方有Q把看成的二次函数，则它的对称轴为（由于）6分类讨论与椭圆中的类似,结果为:点Q（m,0）在x轴正半轴移动时，临界值为，当时，，此时点P的横坐标为a.当时，，此时点P的横坐标为问题三：在抛物线中（>0），点P为曲线上的动点，点Q（m,0）在x轴正半轴上移动，试求的最小值和此时点P的坐标

5、规律。P分析：令,点Q（m,0）,（m>0）,则,Q它的对称轴为，当时，即，对称轴在函数的定义域外,当时.当时，即，对称轴在函数的定义域内，当时现把这三种曲线的这种性质用一个表来说明：注：点P在曲线上，点Q在x正半轴上，P（x,y）,Q(m,0)曲线类型点Q中m的范围的最小值取到最小值时的点P的横坐标060三．、性质的演化若点P在圆锥曲线上，点Q（m,0）在x正半轴上，当PQ的连线与x轴垂直时的点P记为，则。那么曲线上的点P与点Q距离的最小值与之间是否存在一定的关系呢？有规律吗？通过本人的研究，发现如下：为方便起见，记1）若的最小值在曲线端点时取到，则

6、数据关系明显，这里不讨论。1）若的最小值不在曲线端点时取到，则a)在椭圆中（同上），当时，（如图1）则，而曲线上，从而有b)在双曲线中，当时，（如图2）则，而曲线上，从而有图1图2图36c)在抛物线中，当时，（如图３）,则，而曲线上，从而有下面把这三种曲线的这种性质用另一个表来说明：注：点在曲线上，点Q在x正半轴上，轴，，点Ｐ在曲线上，到Ｑ的距离的最小值为曲线类型性质四．性质的应用例1.点P为椭圆上的动点，Q（，求的最小值。分析：根据上面的两种规律性，可从两方面解答I．由条件,从而临界值,则由公式==II由条件,从而临界值。令，则在椭圆上有，，由公式，

7、从而有6例2.有一个以（为圆心半径为r的圆（r>0）,若此圆与曲线有4个不同的交点，求r的取值范围。分：可先求两曲线相内切时的临界值，再数形结合求解。由例1可知，椭圆上的点到（的最小值为，由图可知当r=时，两曲线只有3个交点。故r的取值范围是

8、求的最值，因为，，从而同例1求解。例2图例3图例4图因此，对上面圆锥曲线这种性质的研究能解决一