一个优美的圆锥曲线的性质.doc

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1、圆锥曲线的一个优美性质南京市金陵中学宋辉xyOABNMF图1圆锥曲线性质的大花园中,繁花似锦,景色怡人.笔者近日在大花园中发现了一朵美丽的小花,下面让我们来共同欣赏.定理1设A、B是过抛物线y2＝2px焦点的弦的两个端点，A、B与顶点O的连线分别交抛物线的准线于M、N两点，则·为定值.证明：设A（2pt,2pt1），B（2pt,2pt2）.则AO、BO的方程分别为y＝x，y＝x.直线AO、BO与准线x＝－的交点分别为M（－，－）、N（－，－）.·＝（－）·（－）＋（－）·（－）＝＋.∵A、B、F三点共线，即＝，化简得：t1t2＝－，xyOPFBAMN图2∴·＝－p2，即·是

2、定值.定理2设A、B是过椭圆＋＝1（a>b>0）右焦点的弦的两个端点，P是椭圆的左顶点，PA、PB分别交椭圆的右准线于M、N两点，则·为定值.证明：设A（acosα,bsinα），B（acosβ,bsinβ），P（－a,0），则PA、PB的方程分别为：y＝（x＋a），y＝（x＋a）.则直线PA、PB与椭圆的右准线的交点坐标分别为M（，y1），N（，y2）.y1＝（＋a），y2＝（＋a）.y1y2＝·＝·＝tantan·.∵AB的连线过焦点，∴＝，即asin（α－β）＝c（sinα－sinβ），3得acos＝ccos，即tantan＝.·＝（＋a）2＋y1y2＝（＋a）2＋t

3、antan·＝（＋a）2＋··＝.即·是定值.xyOFABPMN图3定理3设A、B是过双曲线－＝1右焦点且与双曲线右支相交的弦的两个端点，P是双曲线的左顶点，PA、PB分别交双曲线的右准线于M、N两点，则·为定值.证明：设A（asecα，btanα），B（asecβ，btanβ），P（－a，0），则PA、PB的方程分别为：y＝（x＋a），y＝（x＋a）.则直线PA、PB与双曲线右准线的交点坐标分别为M（，y1），N（，y2）.y1＝（＋a）,y2＝（＋a）.y1y2＝·＝·＝·＝tantan·.∵AB的连线过焦点，∴＝，∴a（sinα－sinβ）＝csin（α－β），得＝＝

4、＝3＝.∴tantan＝.·＝（＋a）2＋y1y2＝（＋a）2＋tantan·＝（＋a）2＋··＝.即·是定值.通讯地址南京市金陵中学E－mailsonghuijln666@126.com邮编210005电话137051960863