圆锥曲线的切线.doc

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1、圆锥曲线的切线问题“方向比努力更重要”！对于圆锥曲线与直线的位置关系的考查，历来都是比较综合的。这类题往往集函数、方程、向量、不等式等知识点于一体。有变量多，关系复杂，运算量大，思维量大等特点。虽说“条条大路通罗马”，但如果解题方向不对，方法笨重，不仅耗时费力，问题得不到解决，而且极容易打击自己的自信心。所以方法的选择尤为重要，这就要求我们通过解一题探索出解一类题的万用方法。下面通过五个题，简单介绍一下处理“过圆锥曲线外一点作圆锥曲线的两条切线……”（为了方便，简称为圆锥曲线的双切线问题）的比较实用

2、的两种方法。例1、（2013广东卷）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ)当点在直线上移动时,求的最小值.分析：这题的突破口不难找：紧扣切线，找出切线方程！我们知道，在这里找切线有两种途径：一是切线用P点表示，联立切线与抛物线（方程思想）；二是切线用切点A、B表示（函数思想）。再看抛物线方程很容易转化为函数，且直线AB与切点A、B息息相关，所以此题用切点表示切线更为方便

3、快捷！解:(Ⅰ).(Ⅱ)抛物线的方程为,即,求导得设,(其中),则切线的斜率分别为,,所以切线的方程为,即,即同理可得切线的方程为因为切线均过点,所以,所以为方程的两组解.所以直线的方程为.(Ⅲ)由抛物线定义可知,,所以联立方程,消去整理得由一元二次方程根与系数的关系可得,所以又点在直线上,所以,所以所以当时,取得最小值,且最小值为.练习1、椭圆的一个焦点为F为（1,0），已知椭圆的短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形（1）求椭圆方程（2）已知Q（x0,y0）是椭圆上任一点，求以Q点为切点的切线

4、方程（3）设P是直线x=4上一动点，过P作椭圆的两切线PA、PB，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标。练习2、A、B、C是长轴为4的椭圆E（焦点在x轴上）的三点，点A是长轴的右端点，BC过椭圆中心O，且（1）求椭圆E的方程（2）在椭圆E上是否存在Q，使得若存在，有几个（不必求出Q的坐标）（3）、过椭圆E上异于其顶点的任一点P作圆O：的两切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，求证：为定值。分析:第(2)问用化归思想，解决这题的关键要理清Q点的来源，一是来源于椭圆，二是

5、来源于，这个式子表示的什么曲线弄清楚了，问题就解决了。问题实际转化为椭圆与某曲线的交点个数。对于第(3)问，关于圆的问题，用几何法是往往是最简洁的。例2：(2014广东卷)、已知椭圆的一个焦点为，离心率为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.分析：这题同样是研究圆锥曲线双切线问题，但与上面几个题又有所不同，上面几个题侧重于两切点的关系，且后续部分是研究由两切点产生的直线问题。而此题更侧重于两切线的关系，讨论的是两垂直切线的交点问题，所

6、以再用上面的方法就不太好操作了。我们还是顺从出题人吧，老老实实把切线用P点表示，再耐心地算下去。注意：点斜式适用范围。然后呢？你懂的解：（1）（2）当两条切线的斜率存在时，设过点的切线为联立消去得判别式化简得，即依题意得，即当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得是直线的四个交点，也满足，故点的轨迹方程为练习、如图（6），设点、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且最小值为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线均与椭圆相切，且，试探究在轴上是否存在定点，点到的距离之积恒为1？若存在，请求出点坐

7、标；若不存在，请说明理由．分析：这个题第（2）问似乎比高考题更为复杂，两切线不是相交，而是平行，还得考虑特殊情形：重合。而且参数多，参数之间的关系不是一两句话就能说清楚的……别急，套路就是出路，选好参数，设出方程，联立方程，寻找关系，消参……按套路来，准没错！解：（1）（2）①当直线斜率存在时，设其方程为把的方程代入椭圆方程得∵直线与椭圆相切，∴，化简得同理，∴，若，则重合，不合题意，∴设在轴上存在点，点到直线的距离之积为1，则，即把代入并去绝对值整理，或者前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成

8、立则，解得②当直线斜率不存在时，其方程为和，定点到直线的距离之积为；定点到直线的距离之积为；综上所述，满足题意的定点为或