圆锥曲线的切线方程.pdf

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1、学科探究·中学教学圆锥曲线的切线方程寇宗娣（白银市第一中学甘肃白银730900）高中数学第七章第6节例2中对于过圆x2+y2=r2上一xxyy以猜想为：0-0=1.a2b2点p（x0，y0）的切线方程有详细证明与解答，并求得此切线22方程为xx+yy=r2。由此，我们来考虑这样一个问题：过圆心xyx0xy0y00证明：联立-=1,-=1，a2b2a2b2不在原点的圆上一点p（x0，y0）的切线方程如何？过其它圆得a2b2y2x2-a4b2y2=b4x2x2-2a2b4xx+a4b4.锥曲线上一点的切线方程又如何？以下进行分析证明.

2、0000即（a2b2y2-b4x2）x+2a2b4xx-a4b2y-a4b4=0.1.过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点p（x0，y0）做此圆的切0000（3）又-a2y2+b2x2=a2b2，线，求其方程.00∴242244244解法一：利用坐标系转换法，不妨设x'=x-a，y'=y-b，则（3）可以化为abx-2abx0x+aby0+ab=0，222222在x'o'y'坐标系中，圆的方程为x'2+y'2=r2,点p的坐标为即bx-2ax0x+ay0+ab=0.（4）（x0-a，y0-b），因而，根据例2可知，在x'o'

3、y'坐标系中，过点∴（4）中有4222222p的圆x'2+y'2=r2的切线方程为（x-a）x'+（y-b）y'=r2，由此可△=4bx0-4b（ay0+ab）00=4b2（b2x2-a2y2）-4a2b4=4a2b4-4a2b4=0.知，此切线在坐标系xoy中对应的方程为（x0-a）（x-a）+（y0-00b）（y-b）=r2.∴（4）有唯一实数解.xxyyx2y2解法二：向量法，在切线上任取不同于p点的任意一点即直线0-0=1是过双曲线-=1上的点p（x0，a2b2a2b2M(x,y),记圆心为C，则y0）的切线方程.

4、MP·CP=0，即（x-x0，y-y0）·（x0-a）（y0-b）=0.y2x2即（x-x0）（a-x0）+（y-y0）（b-y0）=0.同理，可知过a2-b2=1上一点p（x0，y0）的切线方程为即[（x-a）-（x0-a）]（a-x0）+[（y-b）-（y0-b）]（b-y0）=0.2222y0y-x0x=1.又（x0-a）+（y0-b）=r.所以（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r.a2b2x2y2（x-h）2（y-k）22.过椭圆a2+b2=1上一点p（x0,y0）做椭圆的切线，并利用坐标平移变换可知：-=1

5、上一点pa2b2求其方程.（x0，y0）的切线方程为：（x0-h）（x-h）-（y0-k）（y-k）=1.不妨设切线方程为：x0x+y0y=1.现证明如下：a2b2a2b2（y-k）2（x-h）2x2y2过双曲线-=1上一点p（x0，y0）的切线+=1a2b2，22ab42222224424422联立得aby0bay0x=ab-2abx0x+bx0x.方程为：xxyy0+0=1.a2b2（y0-k）（y-k）（x0-h）（x-h）-=1.a2b2即（b4x2+b2a2y2）x2-2a2b4xx+a4b4-a4

6、b2y2=0.（1）00004.过抛物线y2=2px上一点M（x，y）的切线方程怎么又b2x2+a2y2=a2b2，0000∴（1）式可化为a2b4x2-2a2b4xx+a4b4-a4b2y2=0.求？00即b2x2-2b2xx+a2b2-a2y2=0.（2）①y0=0时，切线方程为：x=0.00∵（2）中，△=4b4x-4b2（a2b2-a2y2）=4b4x2+4b2a2y2-4a2b4=x+x00000②y0≠0时，切线方程为：y0y=2p.4b2（b2x2+a2y2）-4a2b4=4b2a2b2-4a2b4=0，20022同

7、理，过抛物线y2=-2px上一点M（x，y）的切线方程∴（2）仅有一解，xx0+yy0=1为椭圆x+y=1上过点00a2b2a2b2x+x为：yy=-2p0.0p（x0，y0）的切线方程.2（x-h）2过抛物线：x2=±2py，y）的切线方程为：同理，也可以利用坐标平移变换求得过椭圆+上一点M（x00a22x0x=±2py+y0.（y-k）=1上点p（x0，y0）的切线方程为：x0-h）（x-h）+222ba过抛物线：（x-h）2=±2p（y-k）上一点M（x，y）的切线方00（y0-k）（y-k）=1.（y-k）+（y-k）b2

8、程为：（x0-h）（x-h）=±2p0.2x2y23.过双曲线2-2=1过上一点p（x0，y0）得切线方程可（责任编辑：科言）ab2010年第9期-55-