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1、探讨圆锥曲线切线问题的教学实录探讨圆锥曲线切线问题的教学实录摘要：本文从另一个角度，利用割线逼近切线的思想，对解决直线与圆锥曲线相切的直线方程问题做了系统的讨论，得出了圆满的结论.关键词：圆锥曲线；点湼法；屮点弦；割线；切线；教学案例问题背景如图1,椭圆的中心为原点0,长轴在X轴上，离心率e二，过左焦点F作x轴的垂线交椭圆于A、N两点，AA7二4.(I)求该椭圆的标准方程；(II)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P7,过P、P'作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ丄VQ,求圆Q的标准方程.图1在研究2
2、013年重庆高考数学理科解析几何试题(试题如上)的时候，联想到过P点的圆和椭圆的切线共用一条，如果利用这一点，问题很快得到解决•但学生不晓得过椭圆上一点的切线方程•怎么办?突发奇想，切线和割线会不会有相似的性质？切线是割线的极限，可否利用曲线的中点弦问题解决切线问题？而中点弦问题是解析几何中的一类常见问题，许多学生熟悉“点差法”求直线斜率，即首先设弦的两端点坐标为A(xl,yl),B(x2,y2),代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决.设想人、B两点退化为切点，可否得到切
3、线斜率？案例实录1・？摇创设情景，提出问题教师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法.下而请大家看问题1：已知点M(x0,y0)是直线1被椭圆+=1所截得的线段的中点，求直线1的方程.问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来,开始了对问题的探索.2.?摇自主探索，暴露思维学生求解的同时，教师在行间巡视，发现学生1很快得出了结果,于是请生1上台板书.学生1：设直线1与椭圆交点为A(xl,yl),B(x2,y2),则有b2x+a2y=a2b2,b2x+a2y=a2b2,两式
4、相减,得：b2(xl+x2)(xl-x2)+a2(yl+y2)(yl-y2)=0.因为M(xO,yO)为AB中点,所以有：xl+x2二2x0,yl+y2二2y0,所以kAB二，kOM=二，故有kABkOM=-,所求直线1的方程为y-yO二-(x-xO)・教师：很好！先求直线斜率，过程非常简捷.同学们还有没有其他的方法？学生2：有，显然直线1斜率存在，设其斜率为k,则所求直线方程为y_yO=k(x-xO),联立椭圆方程消去y并整理可得(a2k2+b2)x2-2ka2(kxO-yO)x+a2(kxO-yO)2-a2b2=0,由韦达
5、定理求得kAB=-,再求出直线1的方程.不过这种解法计算量比较大，过程比较麻烦.教师：以上两种解法就是求解以定点为中点的弦所在直线方程的常用方法，我们不妨称之为“点差法”和“联立法”・其中联立直线与椭圆方程消去y(或x)再由韦达定理求出k虽然思路很清晰，但运算比较复杂，故一般情况下优先考虑“点差法”・我们再来看看问题2：已知M(x0,yO)是椭圆+二1上一点，求过点M(x0,yO)的切线方程.(片刻后)学生3：(与学生2同解)假设直线1斜率存在，设其斜率为乙则所求切线方程为y-yON(x-xO),联立椭圆方程消去y并整理可得(
6、a2k2+b2)x2-2ka2(kxO-yO)x+a2(kxO-yO)2-a2b2=0,由判别式为0有A=[2ka2(kxO-yO)]2~4(a2k2+b2)[a2(kxO-yO)2—a,2b2]二0.后面的运算太复杂，生3无法完成，老师接着算下去，化简得(kxO-yO)2=a2k2+b2,即k2(x-a2)-2kx0y0+(y-b2)二0①.乂因为点M(xO,yO)在椭圆上，有b2x+a2y=a2b2，所以x-a2二-，y-b2二-，代入①式，化简WkAB=-，再求出宜线1的方程y-y二-(x~xO).教师：问题1和问题2的
7、结果惊人相似.我们可否这样认为，对问题1的割线的斜率和问题2的切线的斜率有完全类似的结论？辨析异同，归纳结论学生4：老师，我想起來了，圆的弦和圆的切线都有相同的结论kOMkl=-l,(相切)，椭圆也有相似的结论kABkOM=-,还可以理解为圆是a=b的特殊情况.教师：非常好！估计大多数同学还是很纠结，切线的运算太复杂.我们可否换个角度思考，不用联立法？(片刻后)学生5：可用“点差法”去思考，切线是退化的割线，割线在无限靠近切线的过程中，结论kABkOM=-不变.教师：很好！刚才两位同学都很善于思考，从广义和狭义的角度去联想理解
8、.直线1的方程y-yO=-(x-xO)看起来比较复杂，其结构特征与椭圆方程之间有没有联系？下面请同学们把直线方程化成一般式，你发现了什么？学生6：切线方程和割线方程的形式分别为+二+,+二+,表现形式完全一样，但内容不同.切线方程点M(xO,yO)在椭圆上，割线方程的点M(x
