资源描述：
《31.有心圆锥曲线的第三定义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)有心圆锥曲线的第三定义由有心圆锥曲线的一个性质生成的高考试题椭圆与双曲线合称有心圆锥曲线;我们知道圆锥曲线的第一、第二定义不仅可以揭示其本质,而且也是解决其问题的主要工具;现给出有心圆锥曲线的第三定义,她不仅与第一、第二定义具有同等功能,而且她是生成一类高考试题的母题.[母题结构]:有心圆锥曲线的第三定义:平面內一动点P到两定点A、B的斜率之积为常数λ(λ≠0,-1)的轨迹(含两定点)是有心圆锥曲线,两定点A、B叫做有心圆锥曲线的顶点;(Ⅰ)当-λ<0,且λ≠-1时,圆
2、锥曲线为椭圆:①当-1<λ<0时,离心率e=;②当λ<-1时,离心率e=;(Ⅱ)当λ>0时,圆锥曲线为双曲线,且离心率e=.[母题解析]:设
3、AB
4、=2m(m>0),以AB的中点O为坐标原点,直线AB为x轴建立直角坐标系如图,则A(-m,0),B(m,0),设P(x,y),则kPA=,kPB=;由kPAkPB=λ=λ-=1;(Ⅰ)当-λ<0,且λ≠-1时,圆锥曲线为椭圆:①当-1<λ<0时,A、B是椭圆长轴顶点,此时,离心率e=;②当λ<-1时,A、B是椭圆短轴顶点,此时,离心率e=;(Ⅱ)当λ>0时,圆锥曲线为双曲线,A、B是双曲线实轴顶点,离心率e=.1.基本应用子题类型
5、Ⅰ:(2013年山东春招试题)如图所示,点P是等轴双曲线上除顶点外的任意一点,A1,A2是双曲线的顶点,则直线PA1与PA2的斜率之积为()(A)1(B)-1(C)2(D)-2[解析]:由等轴双曲线的离心率e==λ=1=λ=1.故选(A).[点评]:由第三定义可得:若A、B是离心率为e的有心圆锥曲线G的长轴(实轴)顶点,点P是圆锥曲线G上不同于A、B的任意一点,则kPAkPB=e2-1;且当A、B关于原点对称时,上述结论亦成立;基本应用:①已知离心率,求斜率的积;②已知斜率的积,求离心率;③已知离心率和一直线斜率的值(或范围),求另一直线斜率的值(或范围);利用第三定义可有郊
6、降低思维难度、简化推理步骤、减少运算过程,达到快速求解的目的.2.倾斜角关系子题类型Ⅱ:(2015年高考课标Ⅱ试题)已知A,B为双曲线E的左右顶点,点M在E上,ΔABM为等腰三角形,且顶角为1200,则E的离心率是()(A)(B)2(C)(D)[解析]:以AB的中点O为坐标原点,直线AB为x轴建立直角坐标系如图,由∠ABM=1200∠MBx=600,∠MAB=300kMAkMB=tan300tan600=1=e2-1E的离心率e=.故选(D).[点评]:已知A、B是离心率为e的有心圆锥曲线G的长轴(实轴)顶点,点P是圆锥曲线G上不同于A、B的任意一点,若直线AP、BP的倾斜角
7、分别为α、β,则tanαtanβ=e2-1;特别的,圆锥曲线G是等轴双曲线e=α+β=,或.3.垂轴弦定理子题类型Ⅲ:(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)M是椭圆=1(a>b>0)上短轴端点以外的一点,M与短轴两端的连线交x轴于P,Q,O是坐标原点,则
8、OP
9、
10、OQ
11、的值是.[解析]:设椭圆短轴端点分别为A(0,b),B(0,-b),P(p,0),Q(q,0),则kAM=kAP=-,kBM=kBQ=,由kAMkBM=-pq=a2
12、OP
13、
14、OQ
15、=
16、pq
17、=a2.[点评]:本题推广可得垂轴弦定理:已知MN是椭圆G:=1(a>b>0)的与长轴垂直的弦,点P是椭
18、圆G上不同于M、N的任意一点,直线MP、NP分别交长轴于点E、F,则
19、OE
20、
21、OF
22、=a2;类似可得双曲线的有关结论.4.子题系列:1.(2012年全国高中数学联赛天津预赛试题)设椭圆与x轴交于A,B两点,已知对于椭圆上不同于A,B的任意一点P,直线AP与BP的斜率之积均为-,则椭圆的离心率为.2.(2012年全国高中数学联赛湖北初赛试题)过原点O的直线l与椭圆C:=1(a>b>0)交于M,N两点,P是椭圆C上异于M,N的任一点.若直线PM,PN的斜率之积为-,则椭圆C的离心率为.3.(2013年大纲高考试题)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上,且直线PA
23、2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么,直线PA1的斜率的取值范围是.4.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知△ABC的两顶点的坐标为B(0,a)和C(0,-a),直线AB与AC的斜率之积为定值m(m∈R),则顶点A组成的曲线是.5.(2015年重庆高考试题)设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F做A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2C,则双曲线的渐近线的斜率为()(A)(B)(C)1(D)6.(1999年上海高中数学竞赛试
